Igel Satz!

Hey leutz! kann mir mal jemand erklären was genau der Igel-Satz ist? Hab bei Wikipedia schon nachgeschaut aber das ist mir zuviel fachgeschwafel!
:victory:

Greetz Raker

Hey hat keiner Lust zu schreiben oder weiß das keiner;-)??????

Satz vom Igel
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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In der Mathematik ist der Satz vom Igel eine Aussage über Vektorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Auf einer Sphäre Sn gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist.

Insbesondere gibt es ein solches Vektorfeld nicht auf der 2-Sphäre (der Oberfläche der dreidimensionalen Kugel), woraus der folgende Spruch folgt: Jeder glatt gekämmte Igel hat eine kahle Stelle.

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Denke nicht, dass ich Dir das erkläre weil ich´s selber nicht versteh

Raker schrieb:

Hey leutz! kann mir mal jemand erklären was genau der Igel-Satz ist? Hab bei Wikipedia schon nachgeschaut aber das ist mir zuviel fachgeschwafel!

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Fachgeschwafel also...
Vielleicht geht´s ja nur über Deinen/Meinen Horizont und da sollte man durchaus die komplexen Köpfe anerkennen die mittels Physik, Mathematik, einer gemeinsamen wissenschaftlichen/fachlichen Sprache kommunizieren.

Zugegeben ist das nicht gerade mein Spezialgebiet, auch wenn ich viel Mathematik und im Studium hatte und zumindest einen Teil davon verstehe, so verstehe ich nicht alle Zusammenhänge und Details.

Wenn Du Dir die Mühe machst den Links zu folgen und dir die Einzelteile des Gesamtbildes anschaust bekommst Du (ein gewisses Grundverständnis vorausgesetzt) ein gewisses Bild um was es geht. Doch ich halte Dich noch zu jung dafür um dieses Wissen bereits zu besitzen (vielleicht täusche ich mich auch)
Ich selbst behaupte nicht ich hätte alles verstanden und lasse mich gerne von einem Mathematiker oder Physiker korrigieren, hab trotzdem mal kurz nachgelesen und versuche mal zu beschreiben worum es eigentlich geht:

Quellen sind alle aus Wikipedia...

Vektorfeld:

ist ein Vektorfeld eine Funktion, die je dem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik, um zum Beispiel die Geschwindigkeit und Richtung jedes Punktes einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, wie der magnetischen oder der Schwerkraft....

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Somit stellen Vektoren resp. ein Vektorfeld also die Möglichkeit dar in der Mathematik (Details siehe Zitat) verschiedene Kräfte/Richtungen und deren Stärken zu beschreiben. Soweit wars eigentlich ganz einfach, Studium sei Dank

Mannigfaltigkeit:

Mannigfaltigkeit bezeichnet in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal einem gewöhnlichen Euklidischen Raum

gleicht....

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Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, in dem man Entfernung, Längen und Winkel messen kann

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Denke das war auch noch verständlich... also ein eukledischer Raum (sowohl zwei- wie dreidimensional) mit gewissen physikalischen Gesetzmäsigkeiten.

Kommen wir nun zu Sphäre:

Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

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Rückblickend haben wir also mathematisch/physikalische Möglichkeiten einen Raum (zwei- und dreidimensional) mit Hilfe von Vektoren zu beschreiben.

Die genaue Bedeutung der mathematischen Formeln die man bei der Mannigfaltigkeit und dem eukledischen Raum findet, entziehen sich meinen Kenntnissen.
Der Scherz mit dem Igel muss wohl was mit den Erkenntnissen zu tun haben, die man durch die mathematische/Physikalischen Gegebenheite rund um den zwei- oder dreidimensionalen eukledischen Raum erhält. Die Anspielung mit dem "wenn n ungerade ist" steht im direkten Zusammenhang dazu

uf einer Sphäre Sn gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist

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Was das wissenschaftliche Fazit des "Satz vom Igel" nun sein soll... weiss ich nicht.
Allerdings... habe ich NullBöcke das an einem Sonntag noch weiter nachzulesen. Ausserdem ist meine Herleitung sowieso fachlich nicht einwandfrei, hat jedoch zumindest mir geholfen zu verstehen worum es im Groben und Ganzen geht.


Gruss
Sperber

Hi,

@Sperber:
Sehr gute Erklärung, soweit ich das beurteilen kann. Allerdings hast du es dir mit der Sphäre wohl etwas einfach gemacht:

Die n-dimensionale Sphäre (oder kurz n-Sphäre) ist die Oberfläche eines (n + 1)-dimensionalen Balles.

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Mir wurde das mal von einem Mathematiker so erklärt: Die 2-Sphäre kann man sich z.B. als Erde (=Kugel) (im 3 dimensionalen Raum) vorstellen, obwohl sie durch 2 dimensionale Daten beschrieben wird. Es ist im Prinzip also wie bei einem Atlas, in dem ja auch die 3d-Erde in 2d abgebildet wird.

Zum Satz vom Igel:
Ich denke, der ist eigentlich nur eine Eselsbrücke um sich merken zu können, dass man bei ungeraden Sn Probleme beim Vektorfeld bekommt, und zwar dass dort eine Nullstelle auftritt.
Wenn wir beim Kämmen bleiben, macht es ja Sinn, dass man z.B. eine stachelige Kugel nicht glatt kämmen kann, aber ein Nagelbrett kann man schon glatt kämmen. Irgendwo wurde das mal mit dem "Entstehen von Wirbeln auf der Kugel" umschrieben.

Darf man fragen, wie du auf diesen Satz gestoßen bist, der ja wohl für Mathematik-Studenten > 3. Semester gedacht ist?

gruß ZockerM

ZockerM schrieb:

Hi,

@Sperber:
Sehr gute Erklärung, soweit ich das beurteilen kann. Allerdings hast du es dir mit der Sphäre wohl etwas einfach gemacht:

Mir wurde das mal von einem Mathematiker so erklärt: Die 2-Sphäre kann man sich z.B. als Erde (=Kugel) (im 3 dimensionalen Raum) vorstellen, obwohl sie durch 2 dimensionale Daten beschrieben wird. Es ist im Prinzip also wie bei einem Atlas, in dem ja auch die 3d-Erde in 2d abgebildet wird.

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Danke... was die Sphäre anbelangt so hast Du übrigens Recht: Schuldig im Sinne der Anklage, ich befürchte ich war da schlichtweg zu Faul dazu

Hatte den Teil resp. ein Textstück von Wikipedia (vor abschicken meines Postings) auch schon reingenommen. Doch ehrlich gesagt... es war gar nicht so einfach alles verständlich und nachvollziehbar zu erklären... und es wurde mir schlichtweg zu mühsam den Teil zur Eselsbrücke auch noch herzuleiten
Hab´s also unterschlagen... aber da Dir das aufgefallen ist :grinning: ... liefer ich hiermit die Stelle nach. Fand das eigentlich recht anschaulich... und du hast den Teil ja auch bereits erklärt:
Quelle Wikipedia, Mannigfaltigkeit

Wikipedia schrieb:

Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:
Jede Region der Erde kann man mit einer Karte auf eine Ebene (

) abbilden. Nähert man sich dem Rand der Karte, sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschreiben; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne sie zu "zerreißen"; Weltkarten haben ja auch stets "Ränder", oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

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Ich denke auch mit der Eselsbrücke hast Du Recht... hab aber den mathematischen Teil den Du angedeutet hast nicht genauer angeschaut und ehrlich gesagt... mein Studium liegt bereits einige Zeit zurück und meine Motivation mich einzudenken.... ähm.... :wah:


Gruss
Sperber

P.S.

ZockerM schrieb:

Darf man fragen, wie du auf diesen Satz gestoßen bist, der ja wohl für Mathematik-Studenten > 3. Semester gedacht ist?

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Müsste ich raten würde ich sagen es war eine "Herausforderung" und mit einer Antwort hatte er nicht gerechnet (darum habe ich mir auch die Mühe gemacht)

@ Sperber

Ähm naja von wegen jung! Ok ich geb zu ich kapiere das net! Aber zu jung um grundkenntnisse der Mathematik und vllt sogar mehr zu haben bin ich net!
Meine Freundin ist 16 und hatte mit dem Igelsatz kein Problem;-)


Greetz Raker