Das Sandwich-Problem

Ein mit mit Schinken belegtes und mit Käse überbackenes Stück Toastbrot soll so geteilt werden, daß beide Hälften exakt die gleiche Menge (bzw. Volumen) an Toast, Schinken und Käse haben. Dabei darf nur ein einziger gerader Schnitt (entlang einer 2-dimensionalen Ebene) gemacht werden. Ist dies grundsätzlich möglich oder nicht?

(Es handelt sich nicht unbedingt um ein "ideales" Sandwich: Die Zutaten liegen nicht notwendigerweise perfekt flach aufeinander und auf einer Ecke könnte sich beispielsweise mehr Schinken befinden als auf einer anderen.)

vielleicht den schwermittelpunkt suchen?

Ich wuerde sagen, es ist grundsaetzlich moeglich: man bestimmt zuerst die Schwerpunkte der einzelnen Komponenten und dann die entsprechende Ebene. Es gibt zu drei beliebigen Punkten immer eine Ebene, auf denen alle drei Punkte liegen. Da ich kein Mathematiker bin und mein Gedaechtnis allmaehlich nachlaesst, kann ich es leider nicht genauer beschreiben

Gruss,
Nokix

Ich schätze mal es geht NICHT!


mfg
Prinz Sorin

Original erstellt von PrinzSorin:
Ich schätze mal es geht NICHT!

mfg
Prinz Sorin

Zum Vergrößern anklicken....

Ehrlich gesagt bin ich inzwischen auch nicht mehr richtig davon ueberzeugt, aber es waere schon ganz nett, wenn Du das auch begruenden koenntest

Also, das mit den drei Punkten und der Ebene wird zwar stimmen, aber es ist damit ja noch nicht gesagt, dass die drei Komponenten durch jede beliebige Ebene, die durch deren Schwerpunkte geht, auch wie gefordert geteilt wird.

Gruss,
N kix

erst dachte ich auch, daß es vom Prinzip her nicht geht, aber dann habe ich mir ein schon fast unmögliches Beispiel überlegt, und habe auch dazu eine Schnittebene gefunden!

Also:
Man nimmt eine Kante des Toasts, belegt die Hälfte mit Schinken, die andere hälfte mit Käse. Hier sieht es im ersten Moment nach eine Unmöglichkeit aus, den Toast zu teilen, allerdings wenn ich mir das ganze in vorstelle (der Schinken steht ja praktisch auf dem Toast, der Käse auch), so muß ich den Schnitt einfach so schräg wählen, daß ich alles Symetrisch teile (hmm....werde mal versuchen, das irgendwie grafisch darzustellen!).
Dann bin ich zu der Lösung gekommen:
Es geht...und zwar immer!

Wie Nokix bereits beschrieben, muß ich mit den 3 Ebenen einen Schwerpunkt bestimmen. Jede Ebene, die durch den Schwerpunkt geht, teilt den Körper in 2 gleichschwere Körper.
Somit hat man überall die gleiche Masse (Menge).

Für das gleiche Volumen gilt dies allerdings nicht zwangsläufig, wenn man berücksichtigt, daß er Käse im geschmolzenen Zustand nicht exakt eine konstannte Dichte hat (die anderen Komponenten ebensowenig).

TT

Original erstellt von TT:
Für das gleiche Volumen gilt dies allerdings nicht zwangsläufig, wenn man berücksichtigt, daß er Käse im geschmolzenen Zustand nicht exakt eine konstannte Dichte hat (die anderen Komponenten ebensowenig).

TT

Zum Vergrößern anklicken....

Na, da bin ich aber beruhigt, dass ich mich doch nicht geirrt habe
Fuer das Volumen sollte dann aber ebenfalls eine (andere) Ebene gefunden werden koennen. Man koennte dann allerdings nicht den Schwerpunkt nehmen, sondern die Entsprechung fuer das Volumen - wenn's so etwas gibt. Man koennte das Sandwich ja theoretisch "nachbauen" mit Materialien, bei denen die Dichte ueberall gleich ist und schon koennte man wieder mit dem Schwerpunkt arbeiten, oder?

Gruss,
Nokix

P.S.: Ich habe uebrigens gerade mal etwas "nachgeforscht" und bin auf das "Ham-Sandwich Theorem" gestossen.

Obs bei Volumen einen Punkt gibt, durch den alle Ebenen gehen, die das Volumen in 2 gleiche Volumen teilen?
Das müßte man jetzt beweisen.

TT

Original erstellt von Nokix:
[..] Ich habe uebrigens gerade mal etwas "nachgeforscht" und bin auf das "Ham-Sandwich Theorem" gestossen.

Zum Vergrößern anklicken....

Na dann muß ich ja nicht mehr viel dazu sagen.

Im 3-dimensionalen Raum lassen sich 3 Körper grundsätzlich durch eine Schnittebene exakt halbieren und zwar unabhängig davon, welche Form sie haben und wie ihre Lage ist. (Ham-Sandwich Theorem)

Analoges gilt für n Gebilde in n-dimensionalen Räumen. (Borsuk-Ulam Theorem)

Hier findet Ihr die entsprechenden und zumindest für 2 und 3 Dimensionen leicht nachvollziehbaren mathematischen Beweise: http://new.math.uiuc.edu/eggmath/WY/borsuk.html

Original erstellt von TT:
Obs bei Volumen einen Punkt gibt, durch den alle Ebenen gehen, die das Volumen in 2 gleiche Volumen teilen?
Das müßte man jetzt beweisen.

Zum Vergrößern anklicken....

Auch eine interessante Frage.
Entscheidend (für das Ham-Sandwich Theorem) ist aber nur, daß es man jede Ebene durch Parallelverschiebung zu einer Schnittebene machen kann, die das Volumen genau halbiert.