OK, dann lös ich mal:
Ein mensch kennt die summe dieser 2 zahlen (s), einer das produkt (p)
S zu P: daß du die zahlen a und b nicht kennst ist mir klar
P zu S: weil du das grad gesagt hast kenne ich sie aber.
S zu P: dann kenne ich sie auch.
P kann nur lösen, wenn die Faktoren, in die er das Produkt zerlegen
kann, sowohl gleich als auch eindeutig sind. Besteht das Produkt aus
zwei Primzahlen, kann P zwar die zwei Faktoren immer sicher
ermitteln (der Zeitaufwand dafür wird bei sehr großen Primzahlen
übrigens beliebig groß, auf diesem Prinzip beruht die Sicherheit
diverser Verschlüsselungsverfahren), da jedoch a und b völlig
gleich definiert sind, kann er die Faktoren nicht eindeutig einem der
beiden Variablen zuweisen.
Nur, wenn die Faktoren gleich sind (Beispiel p=9 => a=3 und b=3) ,
kann P lösen, da es dann egal ist, "welchen" der beiden gleichen
Faktoren er a und welchen b zuteilt.
Wären a und b nicht nach oben beschränkt, könnte man als
Bedingung, daß P lösen kann, fordern, daß das Produkt aus zwei
gleichen Primzahlen bestehen muß. In diesem Fall kommt eine
weitere Lösungsmöglichkeit dazu: Sofern nur eine Lösung in den
Bereich der Voraussetzungen für a und b fällt und beide Faktoren
in dieser Lösung gleich sind, kann P auch dann lösen, wenn die
Faktoren keine Primzahlen sind.
Beispiel: Falls P=2601 sind folgende Lösungen für (a,b) möglich:
(51,51), (153,17), (17,153), (3,867) und (867,3). Aber nur (51,51)
enspricht den Voraussetzungen für a und b. P kann also in diesem
Fall lösen, obwohl 51 keine Primzahl ist.
Wann kann nun S sicher wissen, daß P nicht lösen kann? Generell
schon einmal dann, wenn die ihm bekannte Summe ungerade ist. Da
die Summe zweier gleicher Zahlen immer gerade ist, kann er nämlich
dann den Fall ausschließen, daß das Produkt überhaupt in zwei
gleiche Zahlen zerlegt werden kann.
Aber auch bei einigen geraden Summen kann S sich seiner Sache
sicher sein. Wenn s/2 sowohl keine Primzahl ist, als auch s/2 * s/2
mehr als nur eine Zerlegung im Rahmen der Voraussetzungen für
a und b erlaubt, kann sich S sicher sein, daß P nicht lösen kann.
Beispiel s=8. Mögliche Ergebnisse sind (2,6), (3,5), (4,4) (5,3) und
(6,2). Alle Ergebnisse ausser (4,4) kann P mit Sicherheit nicht lösen,
weil er nicht weiss, welchen Wert er a und welchen b zuteilen soll.
Aber auch (4,4) kann er nicht lösen, weil er dann nur weiss, daß
P=16 und dieses auch in (2,8) oder (8,2) zerlegt werden könnte.
S kann sich also in diesem Fall sicher sein, daß P nicht lösen kann,
obwohl s gerade ist.
Durch seine erste Aussage teilt S an P mit, daß die Summe entweder
ungerade ist, oder von der obigen, geraden Form ist. Falls die
Summe ungerade ist, nützt das P allerdings überhaupt nichts. Er kann
ungleiche Faktoren noch immer nicht eindeutig an a und b zuweisen.
Trotzdem kann die Information von S bei der Lösung helfen, nämlich
wenn die Zerlegung des Produkts stets Faktoren liefert, deren
Summen _alle gerade_ sind und weiter die Bedingung erfüllen, daß
S nur _bei einer einzigen_ von ihnen seine Aussage machen kann.
Dann bezeichnet er nämlich mit seiner Aussage diese eindeutige
Lösung als die einzig verbleibende.
Sollte z.B. p=16 sein, kann P zunächst in (8,2), (4,4) und (2,8)
zerlegen und keine eindeutige Lösung finden. P weiss allerdings, daß
entweder s=8 oder s=10 sein muss.
Macht S nun seine Aussage über die Möglichkeiten von P, kann P
aber den Fall s=10 ausschließen. Wäre s=10, dann hätte S mit (5,5)
rechnen müssen, was aber P eine eindeutige Lösung (25 kann hier nur
in (5,5) zerlegt werden) ermöglicht hätte. Daher muss in diesem
Fall s=8, aber daraus folgt aus p=16 zwingend (4,4). P kann also
jetzt aufgrund der Aussage von S lösen.
Indem P an S mitteilt, daß er gelöst hat, weiss S, daß P das Produkt
in zwei gleiche Zahlen zerlegen konnte. Für ihn ergeben sich dann
a und b ebenfalls sofort und zwar zu s/2.
TJ
