Die Folgen gegeben durch 1/n und 1/n^2 sind beides Nullfolgen.
Dieses ist ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz, was man ja gerade daran sieht, dass die eine Reihe konvergiert(1/n^2) und die andere divergiert.
Btw: Die Folge 0,0,0,0,0,0,... ist ebenfalls eine Nullfolge. Die Null darf durchaus erreicht werden.
Eine Reihe konvergiert dann, wenn zu jedem vorgegebenen epsilon>0 ein Index n_0 existiert, so dass die Summe aller Folgenglieder mit Index n>n_0 kleiner als epsilon ist.
Das ist bei der Reihe 1/n nicht der Fall, da man immer eine Menge von Folgengliedern finden kann, die sogar größer als 1/2 ist. (Wie oben schon gezeigt)
Bei der Reihe gegeben durch 1/n^2 gilt:
1/n^2 ist kleiner als 1/(n*(n-1)), weil der Nenner ja größer ist ist die Zahl kleiner.
1/(n*(n-1)) ist aber gleich n/(n*(n-1)) - (n-1)/(n*(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n.
Als Summe der Glieder für n=2-unendlich bekommt man dann:
1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5.....
Und das konvergiert natürlich.
Die Beweise sind beide richtig und es handelt sich auch nicht um ein Paradoxon.
