Mathe: Zinseszins

Hallo Forum.

noch eine Aufgabe die mir sehr viel Kopfzerbrechen macht - bzw. eigentlich macht mir eher der offizielle Lösungsweg kopfzerbrechen.

Frau Tüchtig zahlt für Ihre Tochter jeweils am Monatsanfang € 20,- auf ein Sparbuch mit i=3,2% ein.
Nach genau 6 Jahren zahlt sie einmalig €500,- ein und erhöht nach weiteren 6 Jahren die monatliche Einzahlung auf € 25,-

Welches Guthaben kann die Tochter nach 18 Jahren abheben?

Der "offizielle" Lösungsweg - wo ich nicht weiß was die da wieder für nen Quark gerechnet haben sieht so aus:

wobei ich da denke die haben den Zinseszins falsch berechnet.

ich muss ja auch Zinsen verrechnen für den Betrag nach 6 Jahren + Zinsen + Zinseszinsen + 500 Euro + Zinsen + weitere 6 Jahre Einzahlung + Zinsen + Zinseszinsen ... etc.

Mit Finanzmathematik habe ich mich nie beschäftigt, aber ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass die verwendeten Formeln korrekt sind und versuche dir das etwas auseinanderzuklamüsern:

1. Es werden 12 Jahre 20 Euro am Monatsanfang gezahlt.
Der Jahreszins sind 3,2%. Daraus wird der Monatszins berechnet.(Steckt in dem M_12)
Jetzt wird die Rentenformel angewandt und man erhält den Betrag nach 12 Jahren bzw. 144 Monaten: 3504,47€.

2. Dieses Geld wird dann noch 6 Jahre zu je 3,2% verzinst und es ergeben sich 4233,51€.

3. 500€ werden 12 Jahre mit je 3,2% verzinst. Das ergibt 729,67€

4. 6 Jahre lang (72 Monate) werden genau wie unter 1. 25€ angespart. Der Ertrag berechnet sich auf die gleiche Weise wie bei 1.) zu: 1933,94€

Jetzt muss man nur noch die entsprechenden Werte aufsummieren und erhält das Endergebnis.

Wie man sieht, ist die Lösung korrekt.
Vorausgesetzt die Rentformel stimmt, wovon auszugehen ist.

Wenn ich nach meinem Hausverstand gehe fehlt da doch was.
ich kapier dir komische rechnerei da nich.

Ich hab im Gefühl das die von den 500 Euro den Zinseszins falsch haben.
Jetzt hab ichs aber mal mit so nem Online Spareinlagen Rechner druchprobiert, der kommt auch auf das Ergebnis.

Sehe ich genau so. [Edit] Ich meine wie willikufalt

Nach 12 Jahren 20,- € Rentenzahlung stehen 3504,47 € zur Verfügung.

Auf diesen Betrag wird nichts mehr eingezahlt. Also verzinst sich dieser Betrag einfach noch die restlichen 6 Jahre. Daraus werden dann die 4233,51 €

Die 500,- € werden direkt nur die 12 Jahre verzinst.

Passt also. Die restlichen 6 bzw. 12 Jahre sind berücksichtigt.

Die Formel für die 500,- € lautet Kapital x (Zinsfuß hoch Jahre). Zinsfuß = 1+ Zinsatz/100

Die Rechnung die ihr da macht ist etwas umständlich, führ aber doch auch zum richtigen Ergebnis.

naja ich hätte halt gedacht das wenn ich +500 Euro einzahle verädnere ich damit den zukünftigen Zinseszinz also:
240 + 6 + die Zinsen und Zinseszinsen für 6 Jahre
+ 500
+ weitere Einzahlungen und Zinsen + Zinseszinsen für den gesamten Betrag

Du kannst die 500,- € aber auch getrennt vom Sparplan rechnen.

Das machen die in deinem Fall auch. Ist auch viel sinnvoller.

ja. und da komm ich nich drauf wieso das funktioniert.

weil die Zinsen und Zinseszinsen für z.B. 1000 Euro sind doch weniger als z.B. für 1500 Euro

Ich hab da irgendwie Probleme die Logik dahinter zu verstehen....

Die 500€ werden doch auch einzeln betrachtet.

500 Euro werden 12 Jahre mit einem Zinssatz von 3,2% angelegt.


3,2% von 500 sind 500*3,2/100 = 500 * 0,032= 16.
500+16=516.

Das kann man auch direkt schreiben:
Aus 500€ werden nach 1 Jahr: 500+500*0,032=500*(1+0,032)=500*1,032 = 516.

Das heißt, du erhälst den Betrag inklusive Zinsen für ein Jahr, indem du deinen Grundbetrag mit 1,032 multiplizierst.

Das funktioniert im 2. Jahr genauso.
Du hast jetzt 516€=500*1,032.
Nach 2 Jahren sind das dann 516*1,032=500*1,032*1,032=500*1,032^2
Nach 3 Jahren sind das dann 500*1,032^3
Nach 4 Jahren sind das dann 500*1,032^4
.
.
.
Nach 12 Jahren sind das dann 500*1,032^12 = 729,67

Hier gilt das Distributivgesetz.

Der Endbetrag ist der Gleiche, ob ich z.B für 1000 Euro und 10 Jahre rechne, oder für 500 für 10 Jahre + 500 für 10 Jahre.
Die Formel wurde ja schon genannt.
Kn = K0 * (1+ i)^n (mit Kn= Endkapital, i= Zinssatz/100, n= Anlagedauer)

Wäre natürlich toll, wenn 1000 Euro über 10 Jahre mehr bringt als 2x500 Euro über 10 Jahre.
Man könnte auch den Monatsbeitrag von 20 Euro über 18 Jahre rechnen, und dann für die letzten 6 Jahre den Erhöhten von 5 Euro...



Man kann es aber auch anders rechnen. Erst 20 Euro Monatsrate für 6 Jahre, dann Endbetrag + 500, gleiche Rate für 6 Jahre, dann Endbetrag mit der 25 Euro Rate, für die letzten 6 Jahre.
Aber Endziel der "Übung" sollte wohl sein, zu erkennen, dass man die Beträge auch einzeln rechnen kann.

MfG