Regelmäßiges N-Eck mit 1,001fachem Umfang von Kreis

amihandot · 02.12.2012

Ich suche das jenige regelmäßige n-Eck, welches vom Umfang genau 1 tausentsel größer ist als ein Kreis mit gleichem Radius.
Also (2*Pi*r)*1,001 = n*a.
Mit
n=Anzahl der Ecken
a=Länge einer Seite

Und dann hörts bei mir auch schon auf^^
Wenn ich a versuche nach r aufzulösen, bekomme ich immer unangenehme Winkelfunktionen, die von einer Variable abhängig sind...

Grüße
ami

TrµMAn · 02.12.2012

wenn du nach a lösen willst musst du doch nur beide Seiten durch n teilen.

Ich weiß nur nicht, wo du damit hin willst.

amihandot · 02.12.2012

Achso, ich meinte nicht die Gleichung nach r aufzulösen.
Sondern ich betrachte ein n-Eck und schaue, wie ich a noch ausdrücken kann. Also als Winkelfunktion, die von n abhängig ist bezogen auf den Radius. Aber das hilft mir ja auch nicht weiter...^^

the_viper · 02.12.2012

Du suchst die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks dessen lange Kathete der Radius des Kreises ist. Kann man mit Trigonometrie, Sinus und Pi bestimmen, versuchs mal. Anhand des Winkels kannst dann n bestimmen.

amihandot · 02.12.2012

Ja, soweit ist mir das ja klar.
Aber dann habe ich a = 2r*tan(180°/n).
Und genau da hänge ich. Mit einer Variablen innerhalb der trigonometrischen Funktion kann ich das nicht auflösen...

//Also im Endeffekt komm ich immer auf (2*Pi*r)*1,001 = 2rn*tan(180°/n).
Und das müsste man nach n auflösen?

amihandot · 03.12.2012

Kommt niemand auf einen anderen Lösungsansatz?

willikufalt · 03.12.2012

Was heißt denn:

als ein Kreis mit gleichem Radius.

?

Das bedeutet doch, dass der Radius des Kreises gleich den Schenkeln(das Vieleck ist in den Kreis eingeschrieben) oder den Höhen der Dreiecke(das Vieleck umschreibt den Kreis) ist. Das musst du erst mal wissen.

Mit dieser Beziehung kommst du dann weiter.
Ich würde nur nicht mit den trigonometrischen Funktionen, sondern mit dem Satz des Pythagoras arbeiten.

willikufalt · 03.12.2012

Nonsens.
Wenn das Vieleck größer als der Kreis ist, muss der Radius gleich der Höhe deiner n Dreiecke sein.

amihandot · 04.12.2012

Jop, Radius ist gleich der Höhe der Dreiecke. Also Vieleck ist um den Kreis gelegt

willikufalt · 04.12.2012

Wo kommt die Aufgabenstellung her?
Die kommt mir eigenartig vor.

War die genauso formuliert?

Theoretisch lautet die Antwort, dass es ein solches Vieleck nicht gibt.
(Das käme nämlich im Prinzip einer Quadratur des Kreises gleich, welche ja bekanntlich unmöglich ist.)

amihandot · 04.12.2012

Das war ne etwas blöde Aufgabenstellung...

Der Weihnachtsmann packt runde Flaschen in quadratischen Karton ein und bemerkt, dass in den Ecken zu viel Luft ist. Also macht er aus dem Quadrat ein Achteck, sodass er weniger Karton benötigt.
Am wenigsten Karton würde er benötigen, wenn er den Karton direkt kreisförmig um die Flasche wickelt, aber das kann er aus irgendeinem Grund nicht machen. Er gibt sich nun mit einem n-Eck zufrieden, für dass er maximal ein tausenstel mehr Karton benötigt als bei einem Kreis

Eine Freundin hat nun irgendeinen Ansatz, bei dem sie über die Flächenberechnung geht... Aber weiter sind wir immer noch nicht.

willikufalt · 04.12.2012

Das habe ich mir doch gedacht.

Das ist eine Aufgabe, die (so ähnlich) typischerweise in der Schule gestellt und gelöst wird, indem man zunächst den Flächeninhalt des Quadrats berechnet, das den Kreis umschreibt.
Da stellt man dann natürlich fest, dass die Differenz zu groß ist.

Daher verdoppelt man die Anzahl der Ecken und berechnet wieder den Flächeninhalt.

Dieses Verfahren wiederholt man solange, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Man kann auf diese Weise Pi approximieren.

Hier ein hilfreicher Link:
http://www.mathepedia.de/Approximation_durch_Vielecke.aspx

TrµMAn · 04.12.2012

Du könntest mal die Formel in Derive eingeben (Läuft leider nicht unter Windows 7, sonst hätte ichs selbst ausprobiert) und gucken, wie sie nach n aufgelöst aussehen könnte... Vielleicht gibt es da eine lesbare Form ...

Sonst bleibt dir wirklich nur noch ausprobieren.

willikufalt · 04.12.2012

Das "Ausprobieren" / Approximieren ist der Sinn dieser Aufgabe.

amihandot · 05.12.2012

Nene, da ist nichts mit ausprobieren. Die Aufgabe ist durch direkte Berechnung lösbar, man bekommt ein exaktes Ergebnis für n.

TrµMAn · 05.12.2012

amihandot schrieb:
man bekommt ein exaktes Ergebnis für n.

Aber vermutlich nicht als n ∈ ℕ

amihandot · 05.12.2012

n=164, soviel weiß ich

willikufalt · 05.12.2012

Approximiert wird die Fläche des Kreises, der Kreisrand, die Oberfläche des Zylinders, oder was auch immer gefordert ist.

n wird natürlich nicht approximiert, das ist ja schliesslich eine natürliche Zahl!

Nach der Aufgabenstellung:

mit einem n-Eck zufrieden, für dass er maximal ein tausenstel mehr Karton benötigt als bei einem Kreis

ist dann natürlich jedes n>=164 eine Lösung.

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