Wahrscheinlichkeit

Tja, da es offensichtlich in diesem Forum doch öffters vorkommt, habe ich auch noch was! <img src="smile.gif" border="0">

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 von 20 Leuten am selben Tag Geburtstag haben?
Die Antwort ist durchaus erstaunlich, finde ich!

Viel Spass

Ich sach mal nix.

Außer...

Richtig interessant wirds bei 23 und 400 Leuten.

Mathe LK ist schon ne weile her, aber bei meiner rechnung kam irgendwas grösser 1 raus. kann das sein?
das heist ja das bei 20 leuten mind. 2 am gleichen tag geburtstag haben? <img src="confused.gif" border="0">

P=1-((365*364*363*362*361*360*359*358*357*356*355*354*353*352*351*350*349*348*347*346)/(365^20))=0.41143838....

für mindestens 2 aus zwanzig am gleichen Tag

Genau.

Bei 23 Personen: ca. 50%

und bei 400 = 100% (Schubladenprinzip)

(Schubladenprinzip: Es gibt mehr Personen als Tage im Jahr...)

Level 2

Wie sieht es aus, wenn man die eventuellen Schalttage mit berücksichtigt?

Tja - vielleicht nicht ganz zur Sache:

Aber wenn ich die Theorie mit der Parxis vergleiche, würde ich sagen megahoch. Bei nur 60 Leuten (Firma) haben allein 25 davon im 12.ten Monat Ihr Debüt. Und es gibt 5 Kettentage, an denen jeweils drei Personen hintereinander (tags darauf) Geburtstag haben. Wenn man das in einer Wahrscheinlichkeitsberechnung mit übernehmen würde käme hier wohl kein Ergebnis heraus... (keiner hat im 7.ten)

Kleine Zusatzaufgabe für unsere Spezialisten:

Nehmts mal genauer und seht den Geburtstag als solchen an, nicht als wiederkehrenden Tag im Jahr

@femi
Dann müßte man aber über die Gruppe nähere Informationen haben.

Ist es zum Beispiel eine Schulklasse, dann dürfte sich am Ergebnis nicht viel ändern.

Ist die Gruppe z.B. eine Gruppe Säuglinge im Kreißsaal, ist P=100%.

Ist die Gruppe z.B. alle Sieger des 100m-Laufes (Deutsche Meisterschaft) der Altersklasse 14 der letzen 23 Jahre, ist P=0%.

Für eine zufällig (ohne Präferenzen) aus der deutschen Bevölkerung ausgewählte Gruppe, bräuchte man die Altersverteilung in Deutschland.
(Notfalls nehmen wir die Daten aus den Melderegistern und erstellen uns selbst eine solche Statistik. Dann können wir auch gleich mal überprüfen, ob auch jeder Tag im Jahr -den Schalttag ausgenommen- auch wirklich gleichwahrscheinlich als Geburtstag in Frage kommt.)

Ich rechne das mal aus, wenn mit jemand die Daten der Melderegister zugemailt hat. <img src="wink.gif" border="0">

Ich hab mal ein bißchen über die Einbeziehung der Schalttage nachgedacht.

Also Schaltjahr ist:

1. wenn Jahreszahl durch 400 teilbar
2. und wenn Jahreszahl durch 4 teilbar aber nicht durch 100

Für unser Problem sind nur die letzten 100 Jahre relevant.

Da waren 25% der Jahre Schaltjahre.

Demzufolge ist von 4*365+1= 1461 Tagen ein Schalttag. Also p(ST)=1/1461

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, daß bei n Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, unterscheide ich einfach 3 Fälle.

1. Keiner der n Personen hat am 29.02. Geburtstag. --&gt; Berechnung wie schon bekannt:
p1(n) = 1-365!/(365-n)!/365^n

2. Genau einer hat am Schalttag. --&gt; Die Wahrscheinlichkeit ist genau wie bekannt, nur mit einer Person weniger.
p2(n) = 1-365!/(365-(n-1))!/365^(n-1)

3. Mehr als einer hat am 29.02. Geburtstag: --&gt; p3(n)= 1 = 100%

So. Wie häufig kommen die 3 Fälle vor.

Fall1: q1(n) = (1460/1461)^n

Fall2: q2(n) = 1/1461 * (1460/1461)^(n-1) * n = n/1461 * (1460/1461)^(n-1)

Fall3: q3(n) = 1-q1-q2 = 1-(1460/1461)^n-n/1461 * (1460/1461)^(n-1)

Also die Lösung:

p(n) = q1(n)*p1(n) + q2(n)*p2(n) + q3(n)*p3(n)

p(n) = (1460/1461)^n* (1-365!/(365-n)!/365^n)
+ n/1461 * (1460/1461)^(n-1) * (1-365!/(365-(n-1))!/365^(n-1))
+ (1-(1460/1461)^n - n/1461 * (1460/1461)^(n-1))


Dann komme ich bei 23 Personen auf: 50,68650165346647451%

Das ist ein bißchen weniger als ohne Schalttage: 50,72972343239854072%

Ich hoffe, ich hab hier keinen gravierenden Denkfehler begangen.