Wie sprenge ich mit max. Effektivität?

Mal wieder ein Rätsel!

Ich habe ein Stück quadratisches Wiesengrundstück mit der Seitenlänge von 40 Metern.
In der Mitte ist eine sich drehende Rasenbewässerungsanlage fest installiert, die um 360° rundherrum den Rasen schön gleichmäßig bewässert.
Der Sprengradius ist verstellbar von 20 Meter bis auf fast 29 Meter. Folgendes Problem ergibt sich nun, wenn ich den Radius auf 20 Meter einstelle, dann bleiben in den Ecken des Grundstückes einige Stellen trocken, da man ja nur einen kreisförmigen Teil des Rasens bewässert, und das ist nicht gut - stelle ich den Radius aber größer als 20 Meter ein, bekommt mein Nachbar ein Stück seines Rasens kostenlos bewässert, und das ist ja auch nicht so toll.

Ich möchte nun herausfinden, welcher Sprengradius ideal ist, dass ich so viel wie möglich von meinem Grundstück bewässere aber so wenig wie möglich meinen Nachbarn kostenlos die Wiese sprenge.

Gibt es da eine Möglichkeit? Falls ja - wie? Falls nein - warum?

Hanz.

Nun, dass es irgendeine Möglichkeit gibt, ist klar.

EDIT:

Aufgabenstellung nicht richtig gelesen.

Willi

Ich komme auf einen Radius von 21,647844m.

Hier sollte die Summe aus nicht gesprengter eigener Fläche und gesprengter fremder Fläche minimal sein.

das hört sich nach einer extrem-wert-aufgabe an.

du hast 2 formeln:
deine fläche, die nicht bewässert wird und die vom nachbarn, die umsonst bewässert wird.

da es sich um eine extrem-wert-aufgabe handelt brauchst du die 1. ableitung.
beide formeln leitest du nach dem radius ab. dann müssen beide ableitungen gleich 0 gesetzt werden.
jetzt wird es mir zu blöd mit text:

f'(r) = 0 und g'(r) = 0
-> f'(r) = g'(r) nach r umformen. dann hast du dein idealer radius

viel spass..... das wochenende ist noch jung

(ohne gewähr)

@willikufalt, Du liest nicht richtig und ich schreibe mir hier einen Wolf!!

[umsont geschrieben]
Zu 1.) Der Sprenger ist in der Mitte des Grundstückes "...fest installiert...", das heist: fix. Kann auch nicht verändert werden.

zu 2.) Die Bewertung sieht meiner Ansícht nach so aus: wenn wir ehrlich sind ist ja die maximale Bewässerung der Wiese 1600 m² (40*40 bei ca. 28,28m Radius), das schlechte daran ist, das die besprühte Gesamtfläche in dem Fall über 2513m² beträgt.

2513m²-1600m²=913m² verschenkte Bewässerung.

Es gilt die Summe aus bewässerter Eigenfläche (in dem Fall 1600m²) und verschenkter Bewässerung (wären in dem Fall -913m²) so hoch wie möglich zu halten (im Beispiel ca. 687m²).
Beim kleinsten Radius von 20m würde der Wert schon 1256m² (Pi*r²) betragen, da ja hier nichts verschenkt wird.

Und nochmal einfacher: der erzielte Nutzen soll größer sein als der Schaden, in Form des verschenkten Wassers.

Ich hoffe das klingt jetzt nicht allzu kompliziert!

[/umsonst geschrieben(Zeit verplämpert)]

Hanz.

@willikufalt, Dein Radius stimmt - hattest Du nicht erst 26,...m da stehen?

Wie kommt man denn ganz leicht darauf - ohne den aufwenigen Rechenweg von guzi zu gehen?

Hanz.

Original geschrieben von Hanz
[...] Wie kommt man denn ganz leicht darauf - ohne den aufwenigen Rechenweg von guzi zu gehen?

Hanz.

Zum Vergrößern anklicken....

Man berechne die Nullstelle der Formel f(r) = x² - Pi*r².

x = Kantenlänge der quadratischen Wiese
r = Radiuseistellung der Bewässerungsanlage

x² = Fläche der eigenen Wiese
Pi*r² = bewässerte Gesamtfläche

Umgestellte Formel:
r = sqrt(x² : Pi)

Dann hält sich die unbewässerte Fläche und die beim Nachbarn bewässerte Fläche genau die Waage, wenn ich keinen groben Denkfehler drin habe.

r ~ 22,56

/edit: Doch, ich habe einen groben Denkfehler drin... Mist. Habe jetzt aber keine Zeit den zu beseitigen. Erklärung folgt später.

so wird nur ein kreis berechnet mit der selben fläche wie das quadrat. ob das die lösung ist?

@Zombie79, die nichtbewässerte Fläche und die Nachbarfläche sind bei Deinem Radius von ca. 22,56m genau gleich ( ~144,85m²), aber das ist nicht die Lösung (die willikufalt übrigens schon richtig gepostet hat).

Hanz.

Nochmal zur einfachen Berechnung des gesuchten Radius:

Grafisch sieht man, warum genau das der optimale Radius ist. Sollte nach genauem Hinsehen einleuchten.

Berechnung über die kleine Formel:

optimaler Radius: r=20m/SIN(67,5°)

Ich bin nach meinem Denkfehler auf die Idee gekommen, dass der Anteil des Kreisumfangs innerhalb des Quadrates genauso groß sein muss, wie der Anteil außerhalb. Nur hatte ich noch nicht die Zeit, mir genauere Gedanken über die passende Formel zur Berechnung zu machen.

Das ist alles schon recht lange her und ich habe so meine Problemchen mit den lieben Formeln...
Gibts irgendwo anständige Seiten, die man zur Nachhilfe heranziehen kann?

@Hanz: Das leuchtet ein.

...by the way, deine Zeichnung errinert mich an ein Baseballfeld

nix leuchtet!


in der zeichnung wurde ein kreis mit r=s/2 gezeichnet. an diesem kreis dann eine tangente. der abstand vom schnittpunkt (tangente mit quadrat) und mittelpunkt bilden den radius für die fläche, die bewässert wird.
kann ja sein, dass das richtig ist aber die zeichnung selber beweist doch gar nichts.

OK.

Ich versuche mal den Ansatz zu beschreiben:

Gehen wir zunächst aus von einem Kreis mit Radius von 20m.
Erhöht man nun den Radius (geringfügig) , so schneidet der Kreis die Kante des Quadrats an 2 Punkten. Insgesamt wird der Kreis in 8 Sektoren aufgeteilt.

Bei 4 dieser Sektoren (A) führt die Erhöhung des Radius' des Kreises dazu, dass eine grössere Fläche des Nachbargrundstücks bewässert wird. Bei den anderen 4 Sektoren (B) führt die Erhöhung des Radius dazu, dass ein grösser Teil des eigenen Grundstücks bewässert wird.

Der Radius ist solange zu erhöhen, solange die Vergrösserung der eigenen bewässerten Fläche grösser ist, als die Vergrösserung der benachbarten bewässerten Fläche.

Dieses ist solange der Fall, solange die Fläche der Sektoren A kleiner als die Fläche der Sektoren B ist. D.h. solange bis der Winkel am Mittelpunkt aller Sektoren genau gleich 45 Grad beträgt.

Dieses sagt auch genau die Zeichnung von Hanz aus.

@willikufalt, gut zu wissen, das meine Skizze doch etwas Aussagekraft besitzt!