Würfelspiel Gates vs. Walton

Bill Gates und Robson Walton wollen ein Würfelspiel machen.

Walton würfelt solange, bis er eine ungerade Augen-Zahl hat. Kommt diese beim ersten Wurf gewinnt er $2, wenn sie beim 2.Wurf kommt gewinnt er $4, beim dritten $8. Der Gewinn verdoppelt sich mit jedem Wurf. Also wenn er im 10.Wurf erst die ungerade Zahl würfelt gewinnt er $1024 von Billie.

Bevor aber Walton würfeln darf, muß er einen Einsatz an Gates zahlen.

1. Wie hoch muß dieser Einsatz sein, damit dies ein faires Spielchen ist. (Der Einsatz sollte dem erwarteten Gewinn entsprechen)

2. In welchem Ort sollte dieses Spielchen treffenderweise stattfinden.

Was ist denn los.

Wollt Ihr nicht?

Oder könnt Ihr nicht?

Oder wartet Ihr auf die Forbes Liste: World´s Richest People 2001?

Also ich versuch da mal was!
Walton hat also drei Möglichkeiten eine ungerade Zahl zu würfeln (1,3,5).
Wie Du erklärst, müßte Walton also 9 mal eine gerade Zahl würfeln und anschließend seine Ungerade.
Ich frage mich nur, wo ist das faire Spiel?
Wann zahlt er an Billy?
Würfelt er beim ersten Wurf eine ungerade Zahl bekommt er 2 $ und das Spiel ist beendet.
Also Billy zahlt an Walton.
Irgendetwas habe ich da aber noch nicht verstanden!

Erläutere mir das Spiel bitte noch einmal genauer.

Also dann werde ich wohl mal lösen:

Der Einsatz, den Walton setzen muß, sollte gleich dem Erwartungswert E(X) des Gewinns sein.

E(X)= Sum( X(i) * f(X(i)) , i)

E(X)= Sum(0,5^i * 2^i , i)

E(X)= Sum(1 , i)

E(X)= unendlich

Der Erwartungswert ist also unendlich groß. Das kann aber wohl nicht sein. Dies entdeckte der Mathematiker Daniel Bernoulli in Sankt Petersburg. Es nennt sich das Sankt-Petersburg-Paradox. Somit wäre schonmal Frage 2 gelöst: In Sankt Petersburg.


Das eigentliche Problem liegt darin, daß Walton theoretisch eine unendlich große Summe gewinnen kann. Aber Bill Gates kann natürlich nicht diese große Geldmenge auszahlen, weil auch sein Vermögen endlich groß ist (zum Glück).

Laut der Sunday Times beträgt das Vermögen von Gates momentan ca. 54 Mrd Dollar.

Wenn Walton im 35. Versuch die ungerade Zahl würfelt, dann gewinnt er 34.359.738.368 Dollar. Das kann Billie noch auszahlen.

Im 36.Versuch wären schon 2^36 = 68.719.476.736 fällig. Die kann Gates aber nicht mehr voll auszahlen, da er nur 54 Mrd. besitzt. Ich unterstelle mal, daß es keine Bank gibt, die Gates in dieser Situation einen Kredit in einer Höhe geben würde, die das Ergebnis maßgeblich beeinflußt.

Das heißt für den Erwartungswert: für i=1..35: E(35) = Sum( 1,i) = 35

Die Restwahrscheinlichkeit, das Walton mehr als 35 Würfe schafft ist 0,5^35 und dann bekommt er von Gates "nur" 54 Mrd.

Daraus folgt E = 35 + 0,5^35 * 54.000.000.000 = 35 + 1,57 = 36,57

Also muß Walton an Gates einen Einsatz von 36,57 Dollar zahlen.


Eine andere Frage wäre nur, ob Walton (Besitzer von WalMart) diesen Einsatz zahlen würde. Da er aber noch reicher als Gates ist, kann er sich dieses Spielchen locker leisten. Deshalb habe ich für dieses Rätsel auch 2 wirklich existierende Personen gewählt.


(Kann man nur hoffen, daß Walton mehr als 35 Würfe schafft)

das ist aber doof.... wenn walton 35 mal ungerade zahlen würfelt, dann hat billi grade mal 1279.95$ mehr

Walton würfelt solange bis er 1,3 oder 5 hat.

Er erhält 2^n $ wobei n seine Anzahl der Würfe ist.

Je länger er es schafft, keine ungerade Zahl zu würfeln, umso mehr Kohle kriegt er von Gates.

Walton gewinnt auf jeden Fall schon mal 2$ (2^1), aber er muß ja auch vorher einen Einsatz zahlen.

Also: Den Einsatz zahlt er, bevor er anfängt zu Würfeln.

@ MatMax:
Sorry, war leider etwas länger nicht mehr hier.
Nun hab ich`s verstanden! Walton mußte vorher einen festen Einsatz einzahlen und dann loswürfeln. Ich verstand nur nicht, wie Billy cach bekommen sollte. Ich hatte überhaupt nicht an den E(X) gedacht gehabt. Alles klar!