12 Münzen

Du hast zwölf Münzen, elf Goldmünzen und eine aus falschem Gold, die sich äußerlich nicht unterscheiden. Die falsche Münze ist aber von anderer Dichte und besitzt deshalb ein anderes Gewicht, d.h. sie ist entweder geringfügig leichter ODER geringfügig schwerer. Du sollst nun mit einer Balkenwaage (also einer Waage, die nur vergleicht) durch 3maliges Wiegen herausfinden, welches die falsche Münze ist und ob sie leichter oder schwerer als die echten Goldmünzen ist.


Viel Glück!
Quisquam

Hi Quisquam,

ich hab jetzt echt ewig überlegt (auf 3 DIN-A4 Seiten) und bin zu dem Schluss gekommen, dass ich noch 2 zusätzliche Münzen brauche, von denen ich weiß, dass sie echt sind. Damit habe ich eine Lösung gefunden!

Kann das sein???



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----bitdreher----

Ich glaube es funktioniert auf diese Weise:
Ich nummeriere die Münzen durch, und erstelle eine sog. Wägematrix, daß heißt, ich schaue, daß ich auf Grund der Wägung und der unterschiedlichen Zusammensetzung der Gruppen die Münze finde.
Allerdings bin ich noch im Erstellen einer solchen Matrix.

TT

Meine Methode ist ähnlich und ich BIN schon durch. Allerdings mit dem Nachteil, dass ich bei einer Wägung (heißt das so?) 2 zusätzliche echte Münzen brauche. Aber ich kann mir keinen anderen Weg vorstellen.

Das ganze beruht darauf, daß man mit dreimal Wiegen max. 27 untersch. Möglichkeiten hat, während die 12 Münzen von denen eine schwerer ODER leichter ist nur 24 Möglichkeiten darstellen. Ich glaube das System nennt man dann "bestimmt" oder so.

Bei meiner Lösung muss man einige Fälle unterscheiden. Sehr mühsam sag ich nur (hab 2 Stunden gebraucht). Aber mehr dazu, wenn ich die Info wegen der 2 Münzen von Quisquam habe.

Ciao

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----bitdreher-----

Ich glaube ich hab's:

Also, durchnummerieren, und zweimal eine eine 5-5 Wägung und einmal eine 4-4 Wägung durchfürhren:

1,2,3,4,5-6,7,8,9,10
1,3,5,7,9-2,4,6,8,11
1,5,6,7-2,8,9,12

So sollte es funktionieren, werd's aber nochmal testen!

TT


[Diese Nachricht wurde von TT am 01. März 2000 editiert.]

Kurze Erklärung, um das ganze zu testen:

Wenn 10,11 oder 12 falsch sind, schlägt die Waage 1x aus, bei 3 und 4 schlägt sie 2x aus, sonst 3x, aber wie ich gerade feststelle, muß ich noch etwas umsortieren, da ich zwischen 3 ist falsch oder 4 ist das Gegenteil nicht unterscheiden kann!

TT

Sind noch fehler drinnen, 1 und 5 kann ich nicht unterscheiden.

Das ganze muß so aufgebaut sein, daß ich niemals 2 oder mehrere Münzen 3 mal miteinander wiege (also auf dem selben Teller).

TT

Ich glaube aber jetzt funktioniert es:
3x 4-4 Messung.

2,3,6,8-1,7,9,10
1,3,4,5-2,8,9,11
1,2,4,12-3,5,6,7

Die Überlegung:

Wenn die Waage einmal ausschlägt, egal welche Richtung, ist es entweder 10, 11 oder 12 (1., 2. bzw. 3. Messung!).
Bei 2x ist es entweder 4,5,6,7,8 oder 9.
Bei 3x entweder 1, 2 oder 3.

Test 1:
*******

1.W.: li runter -> 2,3,6 oder 8 schwerer bzw. 1,7,9 oder 10 leichter.
Jetzt gehe ich die einzelnen Münzen durch:
2: 2.reru, 3.liru
3: 2.liru, 3.reru
6: 2.glei, 3.reru
8: 2.reru, 3.glei

1: 2.reru, 3.reru
7: 2.glei, 3.liru
9: 2.liru, 3.glei
10: 2.glei, 3.glei

Alle sind unterschiedlich, also kann ich sie eindeutig identifizieren!

Test 2:
*******

Bei der 1. Wägung bleibt die Waage in waage.
Es können also nur mehr 4,5, 11 und 12 sein.

11 und 12 sind leicht, die führe ich hier nicht an. Ich nehme jetzt an, daß eine schwerer ist, bei leicher braucht ihr nur die Seiten vertauschen.

4: 2.reru 3.reru
5: 2.reru 3.liru

Damit sollte es möglich sein!

TT

Habe es nochmal kontrolliert, und keinen Fehler entdeckt. Das muß es sein!

Noch ein paar Überlegungen, wie ich dazu kam:

1. Beim Eliminieren (Also ich nehme eine Menge, wäge sie ab, und teile sooft die falsche Menge bis ich das falsche Goldstück habe) habe ich das Problem, daß ich nicht weiß, ist es schwerer oder leichter. Also brächte ich schon mind. 2 Wägungen, um dies herauszufinden. Ich darf also nie 2 oder mehr Goldstücke 3x auf der selben Seite haben.

2. Keine Wägung eines Goldstücks ist auch eine Aussage, bleibt die Waage im Gleichgewicht, so habe ich das falsche Stück nicht gewogen. Schlägt die Waage aus, so müssen die auf der Seite liegen (also nicht gewogen wurden) echt sein.

3. Erinnerung an SOP (Standard-Operation-Protokoll) im Chemielabor. Um so eine aufzustellen, muß man alle möglichen Fehlerquellen (Störeinflüsse) einbeziehen. Die Anzahl der Messungen mit definierten Störeffekten verringert man durch eine Messmatrix, in der ich unterschiedliche Einflüsse vermische, aber niemals immer die selben. Dadurch kann man herausrechnen, welche Störung das Ergebnis wie beieinflußt. (Sch***arbeit! Aber es hat hier geholfen!).

4. Unter Berücksichtigung der ersten 3 Punkte so eine Matrix aufzustellen, durch etwas Probieren dann auf ein Minimum an Wägungen (3) kommen. Dabei ist folgendes wichtig: Ich kann max 3 Goldstücke 3x wägen, ohne sie entweder immer getrennt oder immer beisammen zu haben. Das heißt, die anderen 9 muß ich durch Punkt 2 meiner Überlegung bestimmen.

5. Die 4 Goldstücke pro Teller ergaben sich aus dem 2. Teil von Punkt 4 (3 Goldstücke).

TT

P.S. hätte nie gedacht, daß das Fach QS (Qualitätssicherung) mir mal bei einem Rätsel hilft.
Hat es sich doch ausgezahlt, daß ich damals das Freifach gewählt habe und im warmen Klassenzimmer während des Unterrichts geschlafen habe.

TT

Tja, und da sagt noch einer man studiert nicht fürs Leben
Deine Lösung sieht wirklich solide aus, TT. Ich werds mir heute Abend nochmal "klarmachen". Vielleicht überlege ich mir auch mal, wie ich meine Lösung hier darstellen könnte?!?

Jetzt sollte sich aber wirklich nochmal Quisquam melden! Ob der sich wohl bewusst war, dass die Lösung nicht ganz trivial ist?



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-----bitdreher-----

Hi,

dass die Lösung nicht ganz einfach ist, hab ich schon gewußt. Leider habe ich gerade nicht viel Zeit (muss ins Training - "mens sana in corpore sano"!), eure Lösungen genau zu prüfen, schaut aber schon recht gut aus! Zum Vergleich hier meine Lösung (es gibt offenbar mehrere, ich habe gerade 3 vor mir liegen, das Prinzip ist jedesmal gleich):

Folgendes wiegen:
1 2 3 4 und 5 6 7 8
1 2 6 7 und 8 9 10 11
3 5 7 11 und 2 8 9 12

Aus dem Ergebnis lässt sich nun die falsche Münze bestimmen (">" links schwerer, "<" rechts schwerer und "=" gleich):
>>> 8L
>>= 1S
>>< 2S
>=> 3S
>== 4S
>=< 5L
><= 6L
><< 7L
<>> 7S
<>= 6S
<=> 5S
<== 4L
<=< 3L
<<> 2L
<<= 1L
<<< 8S
=>> 9L
=>= 10L
=>< 11L
==> 12L
==< 12S
=<> 11S
=<= 10S
=<< 9S

Hoffentlich habe ich mich jetzt nicht vertippt. :sarcblink:
L/S bedeutet zu leicht oder zu schwer (z.B. 8L: Münze 8 ist zu leicht).
Bei === gibt es keine falsche Münze. Die theoretisch möglichen Kombinationen ><> und <>< können bei dieser Lösung nicht auftreten.


Ciao,
Quisquam

[Diese Nachricht wurde von Quisquam am 02. März 2000 editiert.]

Hi TT,

hab deinen Ansatz ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden. Aber bevor ich mich darauf einlasse noch eine kurze Zwischenfrage: Du bekommst doch nur raus, welche Münze falsch ist, aber nicht ob die dann leichter oder schwerer ist?!? Richtig?

Meine Lösung (Fallunterscheidung) funktioniert glaub ganz gut, aber halt mit dem Nachteil, dass ich einmal 2 extra Münzen brauche, was ja nicht so elegant ist.

Ciao

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----bitdreher-----

Doch, ich sehe auch den Unterschied, ob sie leichter oder schwerer ist. Die Waage geht ja entweder nach oben oder unten.

Es gibt folgende Möglichkeiten:
(die Seite, die runtergeht, nenne ich!):

1.li 2.li 3.li
1.li 2.li 3.re
1.li 2.re 3.li
1.li 2.re 3.re
1.re 2.li 3.li
1.re 2.li 3.re
1.re 2.re 3.li
1.re 2.re 3.re

1.nix 2.li 3.li
1.nix 2.li 3.re
1.nix 2.re 3.li
1.nix 2.re 3.re

1.li 2.nix 3.li
1.li 2.nix 3.re
1.re 2.nix 3.li
1.re 2.nix 3.re

1.li 2.li 3.nix
1.li 2.re 3.nix
1.re 2.li 3.nix
1.re 2.re 3.nix

1.nix 2.nix 3.li
1.nix 2.nix 3.re

1.nix 2.li 3.nix
1.nix 2.re 3.nix

1.li 2.nix 3.nix
1.re 2.nix 3.nix

Sind sogar 26 Fälle!
Die letzen 6 sind klar!

Dann fange ich von oben aus an

1. Block:
********
1.und 5. unmöglich, da keine Kugel 3x auf der selben seite liegt.

2. 3 schwerer
3. 2 schwerer
4. 1 leichter
6. 1 schwerer
7. 2 leichter
8. 3 leichter

2. Block:
********
9. 4 schwerer
10. 5 schwerer
11. 5 leichter
12. 4 leichter

3. Block:
********
13. 7 leichter
14. 6 schwerer
15. 6 leichter
16. 7 schwerer

4. Block:
********
17. 9 leichter
18. 8 schwerer
19. 8 leichter
20. 9 schwerer

Es sind also alle genau definiert.

Ich könnte sogar bei einer bekannten Münze, 13 unbekannte nach dem selben Prinzip bestimmen, indem ich bei allen 3 Wägungen die bekannte Münze rechts, die unbekannte Münze links platziere!

TT

Wenn ich 12 Münzen habe und weiß, daß eine Münze zB schwerer/leichter ist! (das muss ich allerdings wissen; mein Bespiel: die Münze is schwerer)

Dann brauch ich nur 6 Münzen auf die eine Seite der Waage und 6 auf die andere Seite.
Von der schwereren Seite teile ich die Münzen wieder: 3/3
dann wieder die schwerere Seite nehmen und 2 beliebige Münzen abwiegen...

sind diese gleich schwer: die dritte Münze ist die falsch
sind diese nicht gleich schwer: schwerere ist die falsche!

Aba wie gesagt so einfach funktioniert das nur, wenn ich weiß, ob die falsche Münze schwerer oder leichter ist!

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*knuddel*
Mauseherz

Meine Lösung zu den 9 Münzen:
1. Münzen 123 gegen 456 wiegen -> 3 Fälle: a) 123 ist schwerer, dann 1 gegen 2 wiegen (1 oder 2 schwerer oder gleich, dann ist es 3); Fall b) analog 456 ist schwerer dann analog 4 gegen 5 wiegen;
Fall c) 1. Wägung gleich, dann belibt noch 789 übrig -> analog 7 gegen 8 wiegen. Stimmts ??

Stimmt natürlich, E.T.zel.
Bist du eigentlich Raucher?

bitdreher

Also ich bin wohlRaucher und Raucher :tongue: Aber das macht nichts...

Das ist aber wirklich die suppi-easy Methode!!!

Deine Methode kann man aber noch effektiver anwenden:
Speziell für Mauseherz: Stell dir vor, du hast 9 Münzen, von denen eine schwerer ist. Wie kriegst du das mit ZWEIMAL wiegen raus???

bitdreher