21stCentury´s Matherätsel 2

Nachdem TT das letzte Rätsel so schnell gelöst hat, diesmal hoffentlich was Schwereres.

In einem kleinen verschneiten Dorf leben 12 :santa: (Weihnachtswichtel), dessen Häuser entweder ein rotes oder grünes Dach haben. Viele dieser :santa: sind miteinander befreundet, wobei in ihrem Dorf jede Freundschaft auf Gegenseitigkeit beruht. Glücklicherweise haben die 12 :santa: alle in verschiedenen Monaten Geburtstag, denn an einem Geburtstag wird das Dach des Hauses des Geburtstags- :santa: in der Farbe angestrichen, die die meisten seiner Freunde als Dachfarbe haben. Bei "Unentschieden" wird die alte Dachfarbe beibehalten.
Gibt es unabhängig von der Ausgangssituation immer einen Zeitpunkt, ab dem sich die Fachfarben in dem kleinen verschneiten Dorf nicht mehr ändern (nein, die Dächer sind nicht ununterbrochen zugeschneit!!!).
Eine Lösung nach dem Motto "ja" oder "nein" zählt nicht. Ich hätte gerne eine Begründung.

Weihnachtliches Rätseln wünsch ich euch.


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Ich glaube diesmal machst Du dir die Sache etwas einfach TT.

Wir sollten meiner Meinung nach einen Fall suchen in dem sich die Dächer immer wieder verändern.
Außerdem sind nicht unbedingt alle Wichte miteinander befreundet.

Zur Zeit glaube ich allerdings noch daran daß
Du TT im Endeffeckt recht hast und am Ende alle Häuser ihre Dachfarbe behalten.

:santa: Quattro

Stimmt, was ist wenn nicht alle untereinander befreundet sind? Das sollte aber nichts am Ergebnis ändern.

Annahme: Ein Einzelgänger
Wenn dieser Geburtstag hat, so ändert sich mal nix!
Einer von den anderen elf hat Geburtstag:
Insgesammt steht es im schlechtesten Fall 5 : 6, solange einer von den 6 Geburtstag hat, ändert sich nix (Gleichstand), wenn aber einer von den 5 Geburtstag hat, so verschiebt sich das ganze nach 4 : 7. Der Ausgang ist dann klar!

Selbiges, wenn man die Gruppen verkleinert.

Was ist jetzt aber, wenn nur 2 nicht befreundet sind?
Wieder schlimmster Fall:
6 rote, 4+2 grüne (+2: diese können sich nicht leiden).

Hat jetzt einer mit 11 Freunden Geburtstag, so ist der Fall schon beschrieben, es steht 5 rote : 7 grüne!
Jetzt kommt einer mit 10 Freunden, so kann maximal Gleichstand sein.

Egal wie man es rechnet, irgendwann ändert sich die Farbe nicht mehr.
Ich bezweifle daß es einen Fall gibt, in dem sich die Farben immer ändern, rechne aber nochmal nach!

TT

Also, nachdem der 1. Beweis ja mathematisch nur dann stimmt, wenn alle befreundet sind, habe ich nochmal nachgerechnet.
Den Rechenvorgang kann ich hier nicht veröffentlichen, da der Zeichenstatz nicht ausreicht, sobald ich aber an einen Scanner komme, werde ich den Beweis hier veröffentlichen.
Das Ergebnis (sollte ich mich nicht verrechnet haben): Es gibt keine Möglichkeit der Kombinationen, die ein ständiges Wechseln der Dachfarben zuläßt.

Kurz in Worten erklärt (sofern ich es schaffe):
Gibt es keine geteilten gruppen (z.B.: Einzelgänger oder 2 6er Gruppen):
Da sie gegenseitig befreundet sind, hat jeder Geburtstag einfluß auf das Gesamtverhältnis, auch wenn man das nicht auf den 1. Blick sieht. Deshalb verschiebt sich das Ergebnis immer auf eine Seite, und das führt zur Einfärbigkeit.

Sollte es 2 Gruppen geben, so werden natürlich nicht alle Dächer gleich, aber diese kann man dann getrennt betrachten und nach obigen Model nachrechnen.
Auch wenn die beiden Gruppen ungeradzahlig sind (5 und 7 Wichte), so stellt sich hier ein Gleichgewicht ein.

TT

So, jetzt muß ich aber endgültig los, um das Weihnachtsessen zu kochen!

Diskutiert ruhig fleißig weiter, es gibt viele Erklärungsmöglichkeiten. Die offizielle (von mir ) gibt es morgen oder übermorgen, mal schaun´.

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Nehmen wir den schlechtesten Fall an: 6 rote, 6 grüne.
Jetzt hat der 1. Wicht Geburtstag, und somit stehen die Anzahl 5 : 6 für eine Farbe (ich nehme mal grün!). Das heißt jetzt wird sein Haus von rot auf grün gestrichen.
Also haben wir jetzt folgende Situation: 5 rote : 7 grüne.

Ab jetzt werden die Dächer nur mehr grün bemahlt: Wenn ein "roter Wicht" Geburtstag hat ist's klar: 4 rote : 7 grünen (=> 4 : 8 nach dem Malen); sollte ein "grüner Wicht" Geburtstag haben, so steht es: 5 rote : 6 grüne (=> 5 : 7 nach dem Malen).

Der Unterschied wird immer größer, und somit sterben die roten Dächer aus. Ein Unentschieden gibt es nicht, da die Anzahl der Freunde immer 11 ist, und somit nicht durch 2 teilbar!

TT

Also, wir sind alle auf deine mathematische Begründung gespannt, TT (wenn du sie hier postest, gibt es dann die zwei in der Signatur).
Hier die offizielle Begründung:
Angenommen es gäbe eine Funktion, die jedem Zeitpunkt die Anzahl der befreundeten :santa: -Paare mit verschiedenfarbigen Dächern zuordnet. Die Funktion wäre, da die Freundschaften auf Gegenseitigkeit beruhen und sich jeder :santa: an seinem Geburtstag der Mehrheit seiner Freunde "unterwirft", monoton fallend. Da sie weiterhin keine negaitven Werte annehmen kann, gibt es einen Zeitpunkt, ab dem sich der Funktionswert und damit die Anzahl befreundeter :santa: -Paare mit verschiedenfarbigen Dächern nicht mehr ändert. Ab diesem Zeitpunkt ändern sich die Dachfarben in dem kleinen verschneiten Dorf auch nicht mehr. :rollsmile:

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Leider habe ich noch keinen Scanner, werde sie aber veröffentlichen, sobald ich sie irgendwo eingescannt habe!

Es gibt noch was, unabhängig von der Ausgangssituation gibt es einen Maximalwert an Geburtstagen, die für das erreichen notwendig sind. Dieser wird nie überschritten, höchstens unterschritten.

TT