21stCenturySepp´s Mathe-Rtäsel Nr. 4

Auch wenn Dr. Iak der Meinung ist, die bisherige Schwierigkeit der Mathe-Rätsel war genau richtig, jetzt etwas, was meiner Meinung nach nur die Besten der Besten lösen können. Macht euch keinen Kopf, wenn es zu schwer wird, die Matherätsel werden auch wieder leichter werden.
Für die Deutschbegabten gibt es ja noch die Sprachrätsel (bald wird Neues in dieser Kategorie) und für den "Nachwuchs" die "Knobel-Rubrik".

Lange Rede kurzer Sinn, hier die harte Nuß :death2:
Denkt euch c sei eine positive reelle Zahl und M sei die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen, die kleiner als c sind. Für je zwei Zahlen u und v aus M ist definiert:
u°v = (u+v)/(1+(uv/c²))
Untersucht, ob M eine Halbgruppe ist.
Untersucht weiterhin, ob diese Halbgruppe regulär ist.

Anmerkungen:
1) Der Fliegendreck hinter dem c in der Gleichung ist der Exponent 2.
2) Eine Menge M von Elementen u,v,w heißt Halbgruppe, wenn in ihr eine Operation definiert ist, die jedem geordneten Paar (u,v) von Elementen aus M eindeutig ein Element w aus M zuordnet (u°v = w). Weiterhin muß diese (algebraische) Operation assoziativ sein (auf deutsch: Für alle u,v,w aus M muß gelten: (u°v)°w = u°(v°w) )
3) Eine Halbgruppe ist regulär, wenn aus u°x = u°y immer x=y und aus x°u = y°u ebenfalls x=y folgt.

Ich weiß, daß ich es diesmal etwas übertrieben habe, aber das mußte sein :supergrin:
Auf das die Köpfe qualmen... :death2: (beim nächsten Mal bin ich wieder ganz lieb :shy: )

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Hi!

Ich habe mir jetzt gerade mal die Aufgabe durchgelesen und "Bahnhof"! Keinen blassen schimmer!

Sag mal, bist Du Mathelehrer?

Alex

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Ne, ich bin noch nicht einmal gut in Mathe. Ich denke mir die Aufgaben zusammen mit einem Freund aus bzw. durchwälze mathematische Lektüren. Ich hoffe, damit habt ihr kein Problem. Dadurch bin ich nur noch vielmehr stolz auf euch, wenn ihr die Aufgaben löst.

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Wie wärs, wenn Du mir sagst, welche Bücher du hast...

Sag mal, könntest Du DAS lösen, wenn Du jetzt nicht Dein Buch dazu hättest?

Alex

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Nein, aber mein Freund könnte es eventuell lösen. Das mit den Büchern sag ich dir nicht, hehe. Dafür kann ich ja auch nicht bei mir in die Signatur kommen. :supergrin: Außerdem ist die Matherätsel-Rubrik ja nicht meine einzige. Die anderen Rubriken könnte ich lösen (Knobel- und Sprachrätsel). Aber nicht entmutigen lassen. Ihr schafft das schon.

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...ich hab da mal einfach so ein bissel wild umgeformt: 1=((u+v*c²)-(u²*v²))/u*v*c²
...hat das vielleicht ne zukunft oder bin ich hier total aufm holzweg?

Es sei folgendes definiert:

1) c ist eine positive reelle Zahl
2) M als Menge aller nichtnegativen Zahlen kleiner c
3) 2 Zahlen u und v aus M

=> u < c und v < c

Desweiteren sei folgende Operation definiert:
u°v = (u+v)/(1+(uv/c²))

Da lt. Definition einer Halbgruppe w=u°v ist und w Element dieser Gruppe sein soll, müßte auch w < c sein, somit ist

u°v = (u+v)/(1+(uv/c²)) => w = (u+v)/(1+(uv/c²)) =>
c > (u+v)/(1+(uv/c²))

Nach Umformen erhält man die Ungleichung

u+v < c + uv/c für 0 <= u :winkw: < c

Sind diese Überlegungen richtig (ich frage lieber, bevor ich mir weitere Gedanken mache!)??

Greets
Dr.Iak

Hi. Ganz ehrlich, ich hätte nicht gedacht, daß sich überhaupt jemand Gedanken über dieses Rätsel macht, aber...

zu easy-e: Nur mit Gleichungen kommst du beim ersten Aufgabenteil nicht sehr weit. Außerdem wäre es besser gewesen, einige Teilschritte anzugeben, damit man den Rechenweg besser nachvollziehen kann. Aber wie gesagt, so oder so --> dein Weg führt nicht zum Ziel. :embarass:

Dr. Iak, dein Ansatz ist prinzipiell richtig, du mußt jedoch aufpassen, daß du das zu Beweisende nicht voraussetzt (zum Beispiel w < c), was du bei den bisherigen Umformungen glücklicherweise noch nicht gemacht hast.

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Das errinnert mich stark an meine alten Klausuraufgaben, werd's mal auf 'nem Zettel lösen, dann hier posten!

TT

Hört ihn euch an:

<IMG SRC="http://www.randy.msing.de/ultimate/bounce.gif" width="26" height="26"> er ist einfach unglaublich <IMG SRC="http://www.randy.msing.de/ultimate/bounce.gif" width="26" height="26">

Ich bin echt beeindruckt. Ihr zermartert euch die Köpfe ( :death: und :death2: ) und er sagt, daß er es mal nebenbei ausrechnet. Mal schauen, wieviele Sekunden er benötigt. :embarass:

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Knobelrätselkönige: -=[ImPaIA]=- (1), easy-e (1)
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Es ist mal eine Halbgruppe. Die verkürzten Lösungen:

(u°v)°w = u°(v°w)

Dies ergibt nach dem Vereinfachen:

ucc+vcc+wcc+uvwcc=ucc+vcc+wcc+uvwcc

(u°v) e M

ergibt:

u + v < c + u*v/c

für u < c und v < c

Dauerte leider etwas länger, da ich Besuch habe! Der 2. Teil kommt nach dem Essen!

TT

Da du (TT) gerade wieder mal dabei bist eines meiner Matherätsel zu lösen bitte ich dich (am Ende) deine Kurzform der Lösung um ein paar Zwischenschritte und/oder Begründungen zu erweitern, da z.B. der zweite Teil deiner bisherigen Lösung nicht jedem sofort einleuchten wird (den ersten Teil brauchst du nicht näher erläuter).
Ansonsten weiterhin viel Spaß mit deinem Besuch und Guten Appetit! :sarcblink:

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Rätselkönige der Sprache: TT (1)
Knobelrätselkönige: -=[ImPalA]=- (1), easy-e (1)

Okay, ein paar Worte.
Im Normalen Zahlensystem stimmen ja die aussagen:

u°x=u°y => x=y

° kann jetzt jede Operation (+, -, /, *)

Jetzt habe ich aber hier eine neue Operation, die Zusammengesetzt ist.

Ein beispiel wo obriger Schluß nicht gilt
u,x,y e R

u°x :-> u+x^2
u°y :-> u+y^2

x=-2
y=+2
u=1

u+x^2 = 1+(-2)^2 = 5
u+y^2 = 1+2^2 = 5

x und y sind aber verschieden!

In diesem Falle setze ich auch ein, und vereinfache ich die Gleichung: die letzten Schritte poste ich (Brüche sind so besch*** zum darstellen!):

uc^2 + yu^2 + xc^2 + uxc = uc^2 + xu^2 + yc^2 + uxy

yu^2+xc^2=xu^2+yc^2

yu^2-yc^2=xu^2-xc^2

y*(u^2-c^2)=x*(u^2-c^2)

Wenn man die Angabe ansieht, sieht man daß der 2. Teil (x und u vertauscht) nicht notwendig ist!.

TT

:-> heißt sei definiert!

Ach ja, der Stoff ist Teil von Lineare Algebra I, das ist gleich im 1. Semester meines Studiums! Deshalb mein Wissen darüber. Ich habe genauso Bahnhof verstanden, als ich das Scriptum zum 1. Mal durchblätterte.

TT

Okay, hier meine Fortsetzung:

lt. meinem oberen Posting ist zu beweisen:

u+v < c + uv/c / *c
<=> c(u+v) < c² + uv / -c(u+v)
<=> c² - (u+v)c + uv > 0 / quadr. Ergänzung
<=> c² - (u+v)c + ((u+v)/2)² - ((u+v)/2)² + uv > 0 / 1. binom. Formel
<=> (c - (u+v)/2)² - ((u+v)/2)² + uv > 0 / + ((u+v)/2)² - uv
<=> (c - (u+v)/2)² > ((u+v)/2)² - uv
<=> (c - (u+v)/2)² > (u² + 2uv + v²)/4 - 4(uv)/4
<=> (c - (u+v)/2)² > (u² - 2uv + v²)/4 /2. bin. Formel
<=> (c - (u+v)/2)² > ((u-v)/2)²
=> c - (u+v)/2 > (u-v)/2 /+(u+v)/2
=> c > (u-v)/2 + (u+v)/2
=> c > (u-v+u+v)/2
=> c > 2u/2
=> c > u

Das sollte ja bewiesen werden!

Greets
Dr.Iak

PS. Um den 2. Teil Deiner Aufgabe mache ich mir später noch Gedanken!

Das ist der leichteste Teil davon, hab gerade gesehen, daß ich ihn nicht gepostet habe!
Deine Version scheint zwar richtig zu sein (nur überflogen), es geht aber auch viel einfacher, indem du es nur an den Obergrenzen beweist, für alle kleineren Zahlen gilt es dann automatisch.

TT