Überholen unmöglich?

Ich hab mal in einer Kindersendung was gesehen, das mir bis heute nicht aus den Kopf geht.

Es wurde folgendes gemacht.

Gegenstand A bewegt sich doppelt so schnell wie Gegenstand B

A ist z.B. 1 Meter von B entfernt.

Wenn jetzt A diesen 1 Meter zurück legt, dann hat sich B ja auch schon wieder um 50 cm weiter bewegt.

A legt also wieder diese 50 cm zurück, und B ist dann aber auch schon wieder 25 cm weiter.

Und so weiter und so fort.

Das heißt jetzt ja, A kann B nicht überholen, denn sobald A die Strecke zurück gelegt hat, die B weg ist, hat sich B aber auch schon wieder ein Stück weg bewegt. Klar wird dieses Stück immer kleiner, aber es ist vorhanden. A könnte also nie an B vorbei ziehen.

In der Praxis ist es aber so, das A einfach B überholen würde.

Was ist an dieser Aussage denn also falsch?

Kenne das ähnlich. Mit Bogen auf eine Schildkröte schießen und man trifft diese nie weil sie sich ja eben auch bewegt.

Choco schrieb:

Was ist an dieser Aussage denn also falsch?

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Das du immer kleinere Zeiträume bis zum Aufschließen/Zusammenstoß betrachtest, aber daraus eine Aussage auf nach dem Zusammenstoß ableitest. Zuerst betrachtest du z.B. einen Zeitraum von 1 Sekunde (bei angenommener Fortbewegungsgeschwindigkeit von 1 m/s für Körper A), beim nächsten Schritt sind es 0,5 Sekunden, dann 0,25 Sekunden, ...
Theoretisch treffen sich die Körper dann, wenn du genau den Zeitabschnitt 0 Sekunden betrachtest.

Freundliche Grüße

Stefan

Das liegt daran, dass du in diskreten Schritten rechnest. Wenn du diese Schritte immer an die ursprüngliche Position von B legst (und damit immer kleiner machst), dann kann A in diesem Schritt natürlich B nicht erreichen, weil sich B eben fortbewegt. Wenn du im zweiten Schritt die gleiche Zeit vergehen lässt, dann bewegt sich A nochmal einen Meter (insgesamt 2m) und B 50cm (insgesamt dann 1m). Und genau dort treffen sich die beiden auch. Das ist dann eines der klassischen Kinematik-Beispiele (wann holt das Auto den Zug ein, wenn es 10kmh schneller ist und 50km weiter zu fahren hat, usw.).

Mathematisch sauber lässt sich das vermutlich dadurch begründen, dass du deine Zeitschritte immer kleiner machst (bei gleicher Geschwindigkeit), genauer gesagt immer die Hälfte des vorherigen. Damit hast du aber eine Folge, deren Summe gegen einen Grenzwert konvergiert (geometrische Reihe). Da die Summe der Zeitschritte aber der Beobachtungszeit entspricht, endet deine Beobachtungszeit irgendwann (weil die Zeitschritte unendlich klein sind (die Wegschritte aber natürlich auch)). Somit kannst du einfach nicht weit genug beobachten, um das Überholen zu sehen.
Wenn man aber eine Grenzwertberechnung durchführt, dann sollte sich auch das gleiche Resultat ergeben.
Ich hoffe, dieser letzte Absatz stimmt so halbwegs; ist schon lange her, dass ich mit sowas zu tun hatte.

/edit: Da war der Stefan schneller

Zenons Pfeil:
http://de.wikipedia.org/wiki/Pfeil-Paradoxon


Edit:
Ist aber auf der Wiki Seite schlecht beschrieben wie ich grad seh. Im Grunde gings Zenon darum das ein abgeschossener Pfeil sein Ziel nie erreichen dürfte da er ja erst die Hälfte des Weges zurücklegen muß. Und dann wieder die Hälfte. Und dann wieder die Hälfte und so weiter.

StGaensler schrieb:

Das du immer kleinere Zeiträume bis zum Aufschließen/Zusammenstoß betrachtest, aber daraus eine Aussage auf nach dem Zusammenstoß ableitest. Zuerst betrachtest du z.B. einen Zeitraum von 1 Sekunde (bei angenommener Fortbewegungsgeschwindigkeit von 1 m/s für Körper A), beim nächsten Schritt sind es 0,5 Sekunden, dann 0,25 Sekunden, ...
Theoretisch treffen sich die Körper dann, wenn du genau den Zeitabschnitt 0 Sekunden betrachtest.

Freundliche Grüße

Stefan

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Ich würde jetzt aber mal behaupten, das der Zeitabschnitt 0 und der Abstand 0 ja nie erreicht wird, da sich B ja schon weiterbewegt hat, wenn A -> B erreicht hat.

Der Zeitpunkt wird selbstverständlich erreicht.

Du beschränkst den Zeitraum in deiner Betrachtung nur selber auf den Abschnitt, der zum Einholen des Fahrzeuges benötigt wird.

Bzw. wird dieser Zeitabschnitt sogar erst erreicht, wenn die Versuche des schnelleren Fahrzeugs den aktuellen Punkt des langsameren zu erreichen unendlich oft erfolgt sind.

Eben. Das wäre ja unendlich. Also nie.

Ist ja in o.g. Paradoxon erwähnt, dass es hier um einen Grenzwert geht, der größer als 0 ist.

Achilles und die Schildkröte wurden ja auch schon genannt.

Limes

Ja, und das ist ja die oben beschriebene Grenzwertbetrachtung... Die Annäherung an einen Punkt, der nie wirklich erreicht wird

Grüße
ami

Eben nicht; der Punkt wird wirklich erreicht. Man macht sich das ganze Verständnisproblem nur selbst damit, dass man die Betrachtungszeiträume immer verkleinert; das hat aber mit der Wirklichkeit nichts zu tun; die besteht weder aus einzelnen Betrachtungszeiträumen, noch werden die kleiner. Da man sich damit nur selbst ein theoretisches Problem erschafft, kann man es auch mit der Theorie der Grenzwertrechnung lösen. Das ist allerdings eine reine mathematische Spielerei.

Heutzutage wird dieses Beispiel gern verwendet, um Schülern eben die Grenzwertrechnung näherzubringen (endliche Summe einer unendlichen Reihe).

Ja.
Ich wollte die Grenzwertbetrachtung nur erwähnen, weil Choco offensichtlich keine Erklärung für das Paradoxon hatte.

Dass das doppelt so schnelle Fahrzeug A das Fahrzeug B einholt, steht (für mich) außer Frage.

Wie in der Wiki zu lesen, steht dort ja auch:

Die Ausführung von Zenon, dass der Pfeil an einem Ort in Ruhe sei und sich nicht bewege, ist ein deutlicher Hinweis darauf, dass das Konzept des infinitesimal Kleinen oder – anders gesagt – der Grenzwertbegriff in der damaligen Zeit nicht geläufig war. Ausformuliert wurde dieses Konzept erst zwei Jahrtausende später von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz (unabhängig voneinander).

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bzw:

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Und diese Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zu den Geschwindigkeiten der beiden Läufer.

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
2. Der Weg - vor dem Einholpunkt -, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

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Mit der gleichen Begründung könnte man ja auch behaupten, dass man sich nicht fortbewegen kann.

Annahme: Man möchte 1 Meter zurücklegen.
Dazu muss man aber erstmal einen halben Meter zurücklegen.
Dazu muss man aber erstmal einen viertel Meter zurücklegen.
...

Im Prinzip stossen hier zwei Grenzwerte aufeinander:
Einmal der zurückgelegte Weg und einmal die benötigte Zeit.

Oben wurde im Prinzip die Beobachtung, dass man den zurückgelegten Weg gegen einen bestimmten Wert streben lässt als Argument genutzt, dass dieser Wert nicht überschritten werden kann.

Dabei wurde aber ausser acht gelassen, dass dafür eben auch nur eine bestimmte Zeit in Anspruch genommen wurde.

Das bedeutet insgesamt nur, dass man in einer bestimmten Zeit nur einen bestimmten Weg zurücklegen kann. Wenn man jedoch mehr Zeit in Anspruch nimmt kann man eben auch einen längeren Weg zurücklegen. (Bzw. ein Auto überholen)

wenn ich das richtig verstanden habe, wird sich A asymtotisch B nähern und vielleicht sogar erreichen, aber nie überholen. und darum gings doch, oder ?

ihr versucht doch garnicht A überhohlen zu lassen! Ihr versucht A neben B zu stellen... da kommt, wenn man DAS immer und immer wieder versucht natürlich NIEMALS ein Überhohlen bei raus

Tja, ein typischer Denkfehler des Menschen, er denkt zu kompliziert !
Rechnen kann er, Paradoxen erschaffen aber auch. (die Grenze des Rechnens)

Extrem interessant fand ich auch das Gefängnisparadoxon oder wie das hieß.
(hab mich vor nicht all zu langer Zeit auch mit sowas beschäftigt)
Da versteht man dann auch sofort, warum keiner mehr Ahnung hat, wie Geld/Wirtschaft funktioniert.

Da ging es um folgendes:




Person A, B und C sitzen im Knast und warten auf die Todesstrafe.

Nun wird aber entschieden das einer begnadigt wird.
Wer, wird ausgelost ! Also jeder hat 1/3 Chance zu überleben. (33,333...%)


Nun geht Person A zum Gefängniswärter (der die Lösung der Losung bereits weiß)
Und fragt ihn, wer von den anderen beiden denn auf jedenfall sterben muss.
Er sagt Person C.
Nun sind plötzlich nur noch er und Person B im Spiel.
Seine Chancen zu überleben sind von 33% auf 50 % gestiegen
und das nur, weil er den Wärter gefragt hat ?

Das hängt damit zusammen, das nun wieder neue Informationen zur Verfügung stehen.

Diese Denkweise ist aber dennoch falsch ! Seine Chancen bleiben bei 1/3 !
Die von Person B hingegen sind auf 2/3 gestiegen !
Wieso ?

Man muss die Personen in Gruppen unterteilen !
Die Gruppe des Fragenden und der Rest.

Beispiel: Man hat 100 Gefangene wovon 99 sterben müssen.
Person A fragt nach Personen die sterben müssen.
Die Informationen die er erhält beziehen sich aber nicht auf ihn,
sondern nur auf die Rest-Gruppe. Wenn er also 98 Sterbekandidaten erfragt
und bsp. Person B bleibt übrig,
dann ist die Chance das Person B überlebt auf 99% gestiegen
die von Person A bleibt bei 1 %.

Da gibt es eine Mathematische Formel für, die das belegt.


So das man jetzt aber denken müsste, dass Person B denken müsste:
"mal gut das ich nicht zuerst gefragt habe" :grinning:

Verstanden ?
Nun weiß ich das die Banker keinen Schimmer haben, was sie tun,
die werden ähnlich paradoxe Formeln verwenden und sich am Ende wundern. :lach:

Die Rechnerei ist einfach für die Katz, denn es beibt alles gleich, wie am Anfang,
jeder hat die selbe Chance.



Genauso bescheuert ist das Umtauschparadoxon.
Man erhält 2 Briefeumschläge mit Geld drinn.
In einem ist doppelt so viel drinne wie im anderen.
Wenn man den ersten aufmacht, darf man entscheiden, ob man den anderen nimmt oder nicht.

Im ersten sind 50 Euro drinne.
Man denkt sich jetzt, wenn ich den anderen nehme, verliere ich nur 50%. (nur die Hälfte)
Oder aber ich gewinne 100% (nochmal ein Ganzes). Durchschnittlich gewinne ich also 25%.
Der Gewinn wäre also höher als der Verlust. Man nimmt also den anderen.

Diese Denkweise ist aber Blödsinn, da die Chance einfach 50% bleibt,
was man denn nun erhält.
Die Erwartung etwas viel besseres zu bekommen oder nur etwas schlechteres,
ist einfach nur ein Denkfehler unseres Gehirns, weil dieses immer nach Strukturen sucht, die einen Sinn ergeben.
Es hat bisher halt fast immer zum Erfolg geführt und ist dadurch mittlerweile so ausgeprägt,
heute gibt es aber einige Fälle, wo das Gehirn uns mit dieser zwanghaften Struktursuche austrickst.

@ Titanfox

Du bringst hier sehr viel durcheinander.

Die Beispiele die du bringst, sind alles keine Paradoxen. Das ist einfach nur Logic.

Das mit der Wirtschaft und den Banken ist noch größerer Blödsinn. Nur weil du glaubst, alles geht zu Grunde, muss es noch lange nicht so sein. Wollen wir wetten, dass wir in 30 Jahren immer noch so leben wie jetzt? Ohne eine größere Veränderung im Wirtschaftssystem?

Richtig, in 30 Jahren, wenn sich wieder alles erholt hat. :grinning:
Aber das ist nicht das Thema.

Natürlich sind es Paradoxon, sonst würden sie sich nicht so bezeichnen. :kaffeepc:

Im Gefängnissbeispiel geht es um die Information die sich geändert hat.
In Deinem Beispiel ist es genauso. Man ändert die Information
und scheinbar ensteht ein Paradoxon. Aber auch nur dadurch.
Es ist einfach nur ein grober Denkfehler.
In Wirklichkeit ist aber alles völlig normal.

Wenn meine Beispiele keine Paradoxon sind, dann Deines auch nicht. (im Prinzip reine Rechen-Paradoxon)
Ein wirklich richtiges Paradoxon tritt ein, wenn ich in die Vergangenheit reise und meinen Vater töte,
bevor er mich zeugt.