Zwei Schimmer II

Unsere zwei Schwimmer schwimmen diesmal beide auf dem Fluß mit der Strömungsgeschwindigkeit u. Der eine schwimmt, wie gehabt, 500m (oder sagen wir x) flußaufwärts und anschließend wieder zurück. Der andere schwimmt von einem Ufer zum anderen und wieder zurück. Zufälligerweise ist der Fluß auch genau x (oder 500m, ist halt ein großer Fluß) breit.

1. Frage: Wer gewinnt diesmal den Wettkampf?

2. Frage: In welchem berühmten Experiment wollte man diesen Sachverhalt ausnutzen, wer "schwamm" dort worin, welches zunächst paradox erscheinende Ergebnis stellte man fest und welche Konsequenz zog man daraus?

(Also eigentlich sollten wir einen Zuschuß vom Kultusministerium bekommen - soviel Bildung wird in der Schule nicht vermittelt! :supergrin: )


Bye,
Quisquam

Hi,

ich denke, der Fluss auf- und dann ab-waerts Schwimmer wird gewinnen. Der 'Querschwimmer' muss ja 2mal gegen die Stroemung (schraeg) schwimmen, um nicht abgetrieben zu werden.

Wer, wann wohin schwamm und was fuer Konsequenzen gezogen wurden, weiss ich nicht :supergrin:

CU

[Diese Nachricht wurde von FerFemNemBem am 09. März 2000 editiert.]

Ich würde auf gleichschnell tippen.
Der Schwimmer der den Fluß quer durchschwimmt wird von der Strömung abgetrieben und muß so eine längere Strecke zurücklegen, was das ganze wieder ausgleichen könnte.

Aber ich glaube unsere Mathematiker können das bestimmt besser erklären.

It´s your turn, TT!

Da fehlt was in der Angabe!

Wenn der 2. nur senkrecht zum Fluß schwimmt, gewinnt er. Die Strömung treibt ihn zwar ab, und der weg scheint länger, allerdings übernimmt die Komponenter der Flußrichtung die Strömung.

Wenn der 2. gegen die Strömung schwimmt, um genau im rechten Winkel zu schwimmen, zieht er auf jeden fall den Kürzeren. Wie schon erwähnt muß er 2x dagegen Schwimmen.

Eines möchte ich noch hinzufügen: Die Strömung in der Mitte des Flusses ist stärker als am Rand.

TT

Sorry, der 2. Schwimmer schwimmt natürlich genau senkrecht zur Flußrichtung. Und es handelt sich um einen "idealen" Fluß - die Strömung ist überall gleich stark.

Quisquam

Dann wird er ja nicht beeinflußt und gewinnt wie auch schon im 1. Rätsel. :bounce:

Seine Geschwindigkeit wird natürlich schon beeinflußt, weil er, wie bereits gesagt, ebenso wie der 2. Schwimmer gegen die Strömung ankämpfen muß. Er soll schließlich an den gleichen Punkt zurückkommen, an dem er losgeschwommen ist.

Gerade ein idealer Fluß hat eine laminare Strömung, und die ist am Rand geringer! So ist das leider!

Also wenn er zum Ausgangspunkt zurückkommen soll, hat er das Rennen verloren!

TT

Mann mann, ich dachte das Ding wäre schon gelöst. Aber jetzt hab ich angefangen zu rechnen (und musste tatsächlich die Mathe-Formelsammlung raushohlen - in Algebra war ich schon immer schlecht) und was stelle ich fest? Ihr habt UNRECHT!
Der Schwimmer der quer zum Fluss schwimmt ist der schnellere, und zwar immer! Vorausgesetzt die Schwimmgeschwindigkeit (Vs) ist größer als die Wassergeschwindigkeit (Vw). Ansonsten ist's glaub ich nicht lösbar. (Wurzel aus neg. Zahl). Zumindest nicht reell! :wink2:

Formeln:
Der Schwimmer, der den Fluss rauf und runter schwimmt braucht folgende Zeit:
t1=2*x*Vs/(Vs^2-Vw^2)

Der Schwimmer, der hin und her schwimmt braucht:
t2=2*x/SQR(Vs^2-Vw^2)

Durch einen Vergleich (hoffentlich stimmts) erhält man: t1>t2, wenn Vs>Vw, weil Vs^2/(Vs^2-Vw^2)>1

Stimmts?

bitdreher

Keine Ahnung wie du auf t1 kommst?

t1=x/(vs-vw)+x/(vs+vw) = 2x*((Vs-Vw+Vs+Vw)/(Vs^2-Vw^2)) = 2x*2Vs/(Vs^2-Vw^2)

t2 ist größer

TT

...na logo, jetzt wo ich diese einleuchtenden Formeln sehe, faellt's mir wie Schuppen von den Augen... :supergrin:

[Diese Nachricht wurde von FerFemNemBem am 10. März 2000 editiert.]

Fast richtig, bitdreher!

Nur: Wenn t1>t2 gilt, dann ist Nr. 2 der schnellere (ich komm selbst schon durcheinander :supergrin: ).

Ich fasse nochmal zusammen (v ist die Schwimmergeschwindigkeit und u die Wassergeschwindigkeit):


Schwimmer 1 (Fluß rauf/runter):

t1=x/(v+u)+x/(v-u)=2xv/(v^2-u^2)
oder t1=2x/v*1/(1-(u/v)^2)


Schwimmer 2 (zum anderen Ufer und zurück):

Die Geschwindigkeitskomponente w in senkrechter Richtung erhält man durch Vektoraddition bzw. durch den Pythagoras:
w=SQR(v^2-u^2)

Damit erhält man:
t2=2x/w=2x/SQR(v^2-u^2)
oder t2=2x/v*1/SQR(1-(u/v)^2)


Bis auf die Wurzel im Nenner sind t2 und t1 gleich. Da das ganze wohl nur Sinn macht, wenn v>u ist, ist der Ausdruck 1-(u/v)^2 < 1. Daraus folgt: 1-(u/v)^2 < SQR(1-(u/v)^2) und 1/(1-(u/v)^2) > 1/SQR(1-(u/v)^2). t1 ist also größer als t2!


Zur Frage 2:
Der gleiche Sachverhalt wurde 1887 von zwei amerikanischen Physikern namens Michelson und Morley ausgenutzt. Man nahm damals an, dass sich Lichtwellen in einem Medium (dem "Äther") fortbewegen. Aufgrund des Ätherwindes ist (so nahm man an) ein Lichtstrahl, der sich in dessen Richtung bewegt langsamer als derjenige, der sich senkrecht dazu ausbreitet. Man konnte dies aber nie experimentell nachweisen und zog als Konsequenz die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.


Quisquam

[Diese Nachricht wurde von Quisquam am 10. März 2000 editiert.]

Ääääääehm, Moment mal. Hab mich oben verschrieben. t1 (rauf- u. runter) ist natürlich LANGSAMER als t2 (hin- u. her)! Also t1>t2, wie gesagt. (t steht für Time)
Und E.T.zel, t2 ist KLEINER also schneller als t1, und t2 ist der, der QUER zum Fluss schwimmt!

Alles klar?

bitdreher

Hi Quisquam, da bist du mir um ein paar Minuten zuvorgekommen! (Hab kurz vor deinem Posting angefangen zu schreiben)

Das mit der historischen Begebenheit hab ich schon mal irgendwo gehöhrt. (Aber wieder vergessen. Wo kriegt man günstig Taiginseng? :wink2: )
Hast du mit solchen Sachen beruflich oder sonstwie zu tun?

bitdreher

Nur in der Schule. Ich habe eventuell vor, Physik zu studieren, brauche aber erst mein Abitur (sind nur noch ein paar Monate hin)...

Natürlich, man sollte nicht nur richtig rechnen, sondern vor lauter schreck nicht das begründen vergessen. Klar ist t2 kleiner wenn v2 größer ist und damit schneller. Na gut, hab isch ähmd gepennt...

TT: Also ich weiß ja nicht, wo du Algebra gelernt hast, aber ich glaube es müsste so stimmen:

t1=x/(s-w)+x/(s+w) !erweitern...
=(x(s+w)+x(s-w))/((s-w)(s+w)) !ausmultipl...
=(x*s+x*w+x*s-x*w)/(s^2-w^2) !fertig...
=2*x*s/(s^2-w^2)

Und das ist nunmal schneller als t2! (Siehe oben)

bitdreher

Stimme dir zu bitdreher. Nach Umformen & vergleich erhalte ich auch t1 > t2 wg. V^2 > V^2 - u^2. Der flußrunter- und hoch schwimmende ist schneller !