Q
Quisquam
Bekanntes Mitglied
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Die Ameisen bewegen sich stets senkrecht zueinander, d.h. die Bewegungsrichtungen zweier aufeinanderfolgenden Ameisen sind immer genau um 90 Grad versetzt. Die "verfolgte" Ameise läuft der ihr nachfolgenden also garnicht weg (auch wenn es auf den ersten Blick so scheint) oder anders gesagt schließt sich die Lücke mit der Geschwindigkeit der Verfolgerameise. Eine Ameise krabbelt deshalb eine Strecke, die genauso groß ist wie die Seitenlänge des Quadrats, bevor sie die nächste trifft.
Für alle, die es nicht glauben:
Der Radiusvektor einer Ameise, d.h. die Verbindungslinie zwischen Quadratmittelpunkt und Ameise, steht anfangs senkrecht zu dem Radiusvektor der ihr benachbarten Ameise. Aufgrund der symmetrischen Bewegung ändert sich daran auch nichts. Der Winkel zwischen Laufrichtung und Radiusvektor einer A. beträgt deshalb pi/4 (45 Grad).
Für kleine Zeitintervalle dt gilt deshalb:
cos(pi/4)=dr/dx=1/sqr(2) bzw. dx=sqr(2)*dr
Oder anders ausgedrückt: Für jeden Schritt in Richtung Mittelpunkt muß die Ameise sqr(2) Schritte entlang ihrer Bahn gehen.
Da der Abstand zwischen Mittelpunkt und einer Ecke a/sqr(2) beträgt (a sei die Seitenlänge des Quadrats) muß die Ameise insgesamt die Strecke sqr(2)*a/sqr(2), also a, zurücklegen, was genau einer Seitenlänge entspricht.
So, und nun wollen wir die eigentliche Frage beantworten, nämlich die nach dem Zeitpunkt des Treffens. Es gilt bekanntlich Zeit=Weg/Geschwindigkeit, deshalb treffen sich die Ameisen zum Zeitpunkt t=a/v im Mittelpunkt des Quadrats.
(v sei die Geschwindigkeit einer Ameise)
Für alle, die es nicht glauben:
Der Radiusvektor einer Ameise, d.h. die Verbindungslinie zwischen Quadratmittelpunkt und Ameise, steht anfangs senkrecht zu dem Radiusvektor der ihr benachbarten Ameise. Aufgrund der symmetrischen Bewegung ändert sich daran auch nichts. Der Winkel zwischen Laufrichtung und Radiusvektor einer A. beträgt deshalb pi/4 (45 Grad).
Für kleine Zeitintervalle dt gilt deshalb:
cos(pi/4)=dr/dx=1/sqr(2) bzw. dx=sqr(2)*dr
Oder anders ausgedrückt: Für jeden Schritt in Richtung Mittelpunkt muß die Ameise sqr(2) Schritte entlang ihrer Bahn gehen.
Da der Abstand zwischen Mittelpunkt und einer Ecke a/sqr(2) beträgt (a sei die Seitenlänge des Quadrats) muß die Ameise insgesamt die Strecke sqr(2)*a/sqr(2), also a, zurücklegen, was genau einer Seitenlänge entspricht.
So, und nun wollen wir die eigentliche Frage beantworten, nämlich die nach dem Zeitpunkt des Treffens. Es gilt bekanntlich Zeit=Weg/Geschwindigkeit, deshalb treffen sich die Ameisen zum Zeitpunkt t=a/v im Mittelpunkt des Quadrats.
(v sei die Geschwindigkeit einer Ameise)
