Die Ameise

<BLOCKQUOTE><font size="1" face="Verdana, Arial">Zitat:</font><HR>Original erstellt von peterfido:
Da ich aber davon ausgehe, dass das Gummi kontinuierlich langgezogen wird, kann ich das gar nicht ausrechnen, das würde nur gehen, wenn ich es 1 Meter ziehen würde, und dann der Ameise eine Sekunde lang Zeit lasse zu laufen und dann erst den nächsten Meter ziehe, gell., Oder habe ich da einen Denkfehler?[/quote]

Du hast schon Recht, das Gummiband wird kontinuierlich gezogen und die Ameise krabbelt währenddessen mit konstanter Geschwindigkeit. Das ist auch der Grund, warum die Lösung des Problems über ein Programm zwangsweise zum Scheitern verurteilt ist. Die Zeitintervalle müßten schon sehr sehr klein gewählt werden, damit man damit einigermaßen hinkommt.

Aber: Ausrechnen kannst du es schon. Es ist zwar nicht ganz einfach (Volksschulmathematik reicht nicht aus) aber durchaus machbar.

Eine klare Aussage darüber, ob die Ameise ihr Ziel erreicht, läßt sich jedoch fast OHNE RECHNUNG machen und sie dürfte auch von jedem nachvollziehbar sein.

ich schätze es basiert auf dieser funktion: summe(von i=1 bis unendlich)1/i der grenzwert dieser funktion ist unendlich, obwohl die funktionswerte immer kleiner werden. anscheined ist das auch bei der ameise der fall. da es sich aber um eine konstante ausdehnung handelt, schätze ich dass es eine integralfunktion ist

Also nach längerem Grübeln bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass ich doch keinen Denkfehler hatte. Die Arme (blöde) Ameise kommt nicht ans Ziel, Es sei denn derjenige , der das Gummi zieht hat die Schnauze voll und lässt es sein. Oder er hat sich mit dem Band so eingewickelt, dass er sich nicht mehr bewegen kann und dann qualvoll erstickt, weil das Gummi sich ja wieder zusammenzieht. Ich starte hier einen Aufruf: Redbull für die Ameise!!!!!!!!!!

Hab das ganze mal grafisch ausgeben lassen (Rechenzeit 3 Stunden).
Die Ameise erreicht höchstens 17,2% der Gesamtlänge, danach wird
es immer weniger.

Punkt x (=Ameise bei 15,31 % der Gesamtlänge)

so und wo wir grad bei ameisen sind würde mich mal intersieren wiso die eigentlich das 100 fache ihres eigenen Körpergewichts tragen kannn wie soll man sowas ausrechnen dafür gibts garantiert keine Formel

zum Gummiband

es gibt keines das unendlich elastisch ist
und sich beliebig lang einen meter ziehne lässt und das pro sekunde dann müsten man schon eher von einer aufgewickelten elastischen rolle sprechen also kommt die ameise irgendwann ans ziel ....

Ich glaube es wird Zeit, daß ich auflöse.

Die Ameise erreicht auf jeden Fall das andere Ende. Dafür spricht die Tatsache, daß sie prozentual gesehen ihrem Ziel immer näher kommt. Würde sie beispielsweise bei 17.2% stehenbleiben, so befände sie sich aufgrund der gleichmaßigen Ausdehnung des Gummibandes immer bei 17.2% der Gesamtlänge. Da sie aber von sich aus mit der Geschwindigkeit von 1 cm/s krabbelt kommt sie immer weiter. Natürlich wäre es auch möglich, daß ihre (prozentuale) Position gegen einen bestimmten Wert konvergiert. Dagegen spricht aber, daß ihre Gesamtgeschwindigkeit dauernd zunimmt: Je weiter sie vorankommt, desto mehr dehnt sich das Band zu ihren Gunsten (Vergrößerung des zurückgelegten Weges) und desto weniger dehnt es sich "gegen sie" (Vergrößerung des vor ihr liegenden Weges).


So, und nun folgt der mathematische Beweis:

Die Gesamtlänge l des Bandes in Abhängigkeit von der Zeit t ist offensichtlich

l(t) = 1m + 1m/s*t

Die Geschwindigkeit dx/dt der Ameise setzt sich zusammen aus ihrer Eigengeschwindigkeit plus der Geschwindigkeit aus der Dehnung des Bandes. Letzteres entspricht aufgrund der gleichmäßigen Ausdehnung dem Produkt aus der Geschwindigkeit am Ende (1 m/s) und dem Verhältnis x(t)/l(t) aus bereits zurückgelegtem Weg und Bandlänge:

dx/dt = 0.01m/s + (x(t)/(1m+t*1m/s))*1m/s

oder ohne Einheiten:

dx/dt = 0.01 + x/(1+t)

Setzen wir z=x/(1+t), so erhalten wir x=z(1+t) und mit Hilfe der Produktregel dx/dt=z+(1+t)*dz/dt. Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

z+(1+t)*dz/dt = 0.01+x/(1+t) = 0.01+z

und somit (1+t)dz/dt=0.01 oder dz=(0.01/(1+t))dt

Nach beiderseitigem Integrieren bekommen wir
z = 0.01*ln(1+t) + C
mit C als noch festzulegende Konstante.

Resubstitution von z=x(1+t) ergibt:
x = 0.01*(1+t)*ln(1+t) + C
und das ist der Ort der Ameise zu jedem Zeitpunkt t!

Aus x(0)=0 folgt C=0. Gleichsetzen von x(t) mit l(t) liefert:
(1+t)=0.01*(1+t)*ln(1+t) bzw. 1=0.01*ln(1+t)

Nach Umstellung ergibt sich ln(1+t)=100 und somit (1+t)=e^100 oder t=e^100-1.

Die Ameise kommt also nach e^100-1 Sekunden am anderen Ende an. Das sind rund 8.5*10^35 oder 850 Quintilliarden oder 0.85 Millionen Millionen Millionen Millionen Millionen Millionen Jahre.


Zugegeben, es dauert ziemlich lange, aber die Ameise kommt auf jeden Fall ans Ziel.

Das glaubst Du doch wirklich selbst nicht.

Andere Frage wieviele Sterne gibt es im Weltall.

Das glaube ich Dir erst, wenn Du es mir vorführst.

Schreib mir mal das Basic (V2) Proggie dazu, dann lass ich es meinen 64´er mal ausprobieren, dann steht der wenigstens nicht so nutzlos rum.

@peterfido:
Bezweifle dass der 64er die vielen Dezimalstellen kann

@peterfido: Dein Programm müsste in etwa folgendes Schema haben:

(1) Setze D=0.1
(2) Setze t=0 und x=0
(3) Berechne t'=t+d
(4) Berechne x'=x+(0.01+x/(1+t))*d
(5) Berechne p=(x'/(1+t'))*100
(6) Gib aus t', x' und p
(7) Setze t=t' und x=x'
(8) Wenn p&lt;100 dann gehe zurück zu (3) ansonsten schreibe "Ameise angekommen"

Erläuterungen:
zu (1): hier wird die Zeit-Schrittweite (Delta-t) festgelegt; je kleiner D desto besser!!
zu (4): dx/dt=lim((x(t+D)-x(t))/D) mit D gegen 0; daraus folgt für kleine D: dx/dt ist ungefähr (x(t+D)-x(t))/D bzw. x(t+D) ist ungefähr x(t)+(dx/dt)*D ===&gt; x(t+D) ist ungefähr x(t)+(.01+x(t)/(1+t))*D. Mit dieser Formel kannst du den Ort x' der Ameise zur Zeit t+D (=t') ausrechnen, wenn du den Ort x zur Zeit t kennst.
zu (5) p ist das prozentuale Verhältnis zwischen der Position der Ameise und der Länge des Gummibandes

Entscheidend für die Genauigkeit ist natürlich die bereits angesprochene Schrittweite. Kleinere Schrittweiten erfordern allerdings mehr Rechenoperationen und könnten deshalb deinen C64 (bzw. deine Geduld) etwas überfordern.

Die Aufgabe sollte man mal 'ner Cornflakes-Packung beilegen

Abschließend möchte ich noch hinzufügen, daß die Ameise unabhängig von ihrer Eigengeschwindigkeit und der Geschwindigkeit mit der das Band gezogen wird ihr Ziel erreicht.

a: Anfangslänge des Bandes
u: Geschwindigkeit, mit der das Bandende gezogen wird
v: Eigengeschwindigkeit der Ameise

Als Differentialgleichung bekommt man:
dx/dt=v+ux/(a+ut)

und als Lösung:
x(t)=(v/u)*(a+ut)*ln(a+ut)

und nach Gleichsetzen mit l(t):
t=(1/u)*(e^(u/v)-a)

D.h. selbst wenn das Band mit nahezu Lichtgeschwindigkeit gezogen wird und die Ameise dabei einen Nanometer pro Sekunde krabbelt erreicht sie schließlich das andere Ende und zwar unabhängig davon, wie lange das Band am Anfang ist.