Differentialrechnung

Guten Abend liebe Mathefreunde

Ich beschäftige mich derzeit mit der Differentialrechnung/Algebra. Leider habe ich noch eine Schwäche, zu erkennen, welche Informationen in einem Funktionsterm stecken. Ich würde gerne ohne vorausgehende Berechnungen wissen, wie sich der Graph in etwa verhalten wird.

Beispiel: f(x)=-1/3x³+3x²-5x-1/3

Additive Konstanten wie -1/3 scheinen immer der Hochachsenschnitt zu sein, ist das korrekt? Angeblich gibt es noch viel mehr Infos, die man aus diesem und anderen Termen "ablesen" kann. Wie ist am Beispiel erkennbar, dass der Graph mindestens einmal die Nullachse schneidet?

Dass deine Funktion mindestens einmal die X-Achse schneidet, kannst du daran erkennen, dass es eine Funktion ungeraden-Grades ist (in diesem Fall: hoch 3).
Sollte deine Funktion geraden-Grades sein, dann kann man nicht auf den ersten Blick sagen, ob die X-Ache geschnitten wird oder nicht.

Lässt sich das möglicherweise 100%ig bestimmen, weil es ein Zusammenspiel aus geraden und ungeraden Exponenten gibt?

reapalooza schrieb:

Lässt sich das möglicherweise 100%ig bestimmen, weil es ein Zusammenspiel aus geraden und ungeraden Exponenten gibt?

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Ja. Du musst nur den führenden Term betrachten, denn der wächst immer schneller als alle anderen.
Bei Funktionen mit ungeraden Exponenten muss er einmal die x-Achse schneiden. Bei geraden Exponenten geht der Grenzwert immer gegen + Unendich ODER minus Unendlich. Bei ungeraden Exponenten gegen + UND - Unendlich.
Also einmal so.


und einmal so.

Additive Konstanten wie -1/3 scheinen immer der Hochachsenschnitt zu sein, ist das korrekt?

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Was heißt "immer"?

Betrachte mal: 1/(x+3) - 1/3

Wo liegt da der Y-Achsenabschnitt?

Lässt sich das möglicherweise 100%ig bestimmen, weil es ein Zusammenspiel aus geraden und ungeraden Exponenten gibt?

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Habe ich - ehrlich gesagt - nicht wirklich verstanden.

In der Mathematik sollte man sich möglichst genau ausdrücken. Also geradzu pedantisch.

reapalooza schrieb:

Ich würde gerne ohne vorausgehende Berechnungen wissen, wie sich der Graph in etwa verhalten wird.

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Ohne (eigene) Berechnung gehts nur so: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)=-1/3x³+3x²-5x-1/3

reapalooza schrieb:

Lässt sich das möglicherweise 100%ig bestimmen, weil es ein Zusammenspiel aus geraden und ungeraden Exponenten gibt?

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Wenn du ein 100 %iges Ergebnis willst, dann musst du rechnen - also die Gleichung Null setzen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=0=-1/3x³+3x²-5x-1/3
Anders bekommst du das nicht raus.

Könnte ich mich besser ausdrücken, würde ich wahrscheinlich eine Antwort ergoogeln können

Also andere Beispiele wären:

x² ist immer eine nach oben geöffnete Parabel, -x² immer eine nach unten geöffnete. X³ ist ein Sattelpunktding. Vorzeichen ändern die Richtung.

Öffnungswinkel stehen vor dem x, ...

Aber was sagt das Zusammenspiel unterschiedlicher Variablen an?

Wenn ich einen Term habe wie

x² + 2x - 3

verhält er sich doch anders als

1/2x³ -4x² +5

Was Zarathustra schreibt hilft mir schonmal etwas weiter Aber es gibt doch noch mehr Regeln?

Edit: Ja, das mit den 100 % ist vielleicht etwas zu viel. Aber so ungefähr will ich es sagen können.

x² + 2x - 3

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Eine Funktion der Form ax^2 +bx +c, a<>0 lässt sich immer - z.B. per quadratischer Ergänzung - auf die sogenannte "Scheitelpunktform" bringen.
Der sieht man dann wieder an, wie die Funktion aussieht. Das ist eine Parabel.
(Nach oben oder unten geöffnet, gestreckt oder gestaucht, links/rechts und/oder oben/unten verschoben; kann man alles direkt ablesen)

Die Funktionen der Form: a_nx^n + a_n-1x^(n-1) + ... + a_0 heißen Polynome.
Polynome, deren höchster Exponent ungerade ist haben immer eine Nullstelle.
Beweisen kann man das mit dem Zwischenwertsatz.
Ist aber vor allen Dingen anschaulich klar, wenn man sich ansieht, wie die Funktionswert aussehen, wenn man die Werte für x gegen + oder - unendlich betrachtet. Die haben nämlich unterschiedliche Vorzeichen, was heißt, dass die Funktion dazwischen die X-Achse schneiden muss. (Da geht übrigens noch die sogenannte Stetigkeit mit ein)

Der Y-Achsenabschnitt eines Polynoms ist immer der Absolutkoeffizient, wie du ja selber schon geschrieben hast.
Das ergibt sich ganz einfach aus seiner Definition. Man setzt in den Polynomausdruck für x=0 ein und es bleibt nur a_0 über.

Ansonsten kann man für Polynomgrade > 2 eigentlich nicht mehr so viele ganz allgemeine Regeln aufstellen, wie man den Polynomfunktionsgraphen ihre Eigenschaften ansieht.

Mit etwas Erfahrung entwickelt man aber ein gewisses ein Gefühl dafür.

Vielen Dank für die hilfreichen Tipps Hat geholfen!

Oh Gott!
Da sieht man mal wieder, wieviel bei mir aus der Schulzeit flöten gegangen ist. Ich habe mir das hier angesehen und überhaupt keinen Plan.