Kann man ein Blatt Papier häufiger als 7 mal falten

Ob jetzt 7 oder 8 mal falten is doch irgendwie egal, oder?
Ich finde es aber immerwieder recht interessant, wie sich aus so einer einfachen und abstrakten Frage so eine große Diskussion mit so viel Beteiligung entsteht. res: @ Deep Space)

Rob

Halloa! Ich grabe dieses herrlich sinnvolle Thema noch einmal aus!

Google hat mich hergeleitet. Und ich hab mich die Frage irgendwann auch schon einmal gestellt ( in etwa auch im Jahr 2004, Kinder, wie die Zeit vergeht ). Und keine Ahnung, wie ich jetzt wieder darauf kam, aber ich will die Antwort wissen...

Im folgenden gehe ich aus von einem Blatt DIN A-4 Papier der Härte 80g/m²:
Breite: 29,7cm x 21cm -> 210mm
Dicke: Volumen x Gewicht / 1000 = 1m³ x 80g/m² / 1000g = 0,08mm (handelsüblich)

Wie schon hergeleitet wurde (wennauch etwas sehr umständlich), bilden die Formeln p(n) = p0 * 2^n und y(n) = y0 / 2^(n/2) die theoretische Dicke und Breite ab. Schön zu sehen ist hier die magische Grenze bei 7 Knicken:
p(7) = 10,24; y(7) = 18,56; p<y
p(8) = 20,48; y(8) = 13,13; p>y

Nach dem 8. Knick würde die Höhe des Papierstapels die akuelle Breite deutlich übersteigen. Hier scheint der Knackpunkt zu sein, ganz egal, wie viel Energie mal anwendet (und ob man bspw. mit einer Teerwalze drüberfahren würde). Spätestens nach einem 9. Knick würde die Pfalz als solche höher sein, als die aktuelle Breite, was paradox wäre, da die Pfalz ebenfalls Papier um mindestens ihre eigene Höhe verbraucht:

p(9) = 40,96; y(9) = 9,28

p(n) darf y(n) also nicht übersteigen. In der Praxis lässt sich leicht schlussfolgern, dass auch ein 8-faches Knicken ohne Einriss der Pfalz nicht möglich ist (bei 80g/m²-Papier und einem DIN-A4 Format.

Die Frage ist: Ab welchem Verhältnis von y(n) zu p(n) lässt sich nicht mehr falten? Es gibt zwei logische obere Grenzen, nämlich
a) p(n) = y(n) (wie eben angesprochen) und
b) p(n) = y0 (Die Höhe kann aufgrund der Pfalz unmöglich die Gesamtbreite übersteigen).

Letzteres ist die liberalere Annahme und soll deshalb für unseren theoretischen Überlegungen herhalten:

Wir setzen also p(n) = y0

p0 * 2^n = y0 <=>
2^n = y0/p0 <=>
ld(2^n) = ld(y0/p0) <=>
n = log(y0/p0)/log(2)
Ultraliberale/realitätsferne Formel.

Bei p0 = 0,080mm und y0 = 210mm ergibt sich eine maximale Knickzahl von 11.

In der Realität gestaltet sich dies jedoch schwieriger. Betrachten wir also den festgestellten Knackpunkt, an dem p(n) den Wert von y(n) übersteigt und setzen hier die Schwelle:

Wir setzen also p(n) = y(n)

p0 * 2^n = y0 / 2^(n/2)
2^n * 2^(n/2) = y0 / p0
2^(n+n/2) = y0 / p0
2^(1,5n) = y0 / p0
1,5n = ld(y0 / p0)
n = (log(y0 / p0) / log(2)) / 1,5
Ultrakonservative/realitätsnahe Formel.

Bei p0 = 0,080mm und y0 = 210mm ergibt sich eine maximale Knickzahl von 7 (von 7,57 sinnhalber abgerundet).

Das entspricht unserer Erfahrung und dem „Gesetz“, das diesen Thread initiierte.

Wählen wir nun ein größeres Blatt Papier (um dem Schmarn hier ein Ende zu bereiten):
Breite: 10m x 10m ->10000mm
Dicke: Volumen x Gewicht / 1000 = 1m³ x 80g/m² / 1000g = 0,08mm (handelsüblich):

y0 = 10000mm; p0 = 0,08mm

Es ergibt sich:
n = 11 (von 11,29 abgerundet)

Auch ein zimmergroßes Blatt Papier würden wir demnach nur 4 mal öfter falten können, als ein DIN A-4 Blatt.


Viel Spaß beim Ausprobieren )

Das haben die bei Mythbuster bereits getestet und haben dafür ein Blatt in der Größe einer Flugzeughalle benutzt.
Sie kamen aber auch nicht über 7 mal falten

Grüße
ami

Doch kamen sie:
"Seven folds: you can't fold a piece of paper more than seven times: busted"

siehe

http://kwc.org/mythbusters/2007/01/episode_72_underwater_car_and.html

Was noch Grund sein könnte, warum, wie in der Formel suggeriert, 10x10 Meter in der Praxis nicht 11 mal knickbar sind, liegt wohl in dem vernachlässigten Faktor der Pfalz begründet.

Die Pfalz nimmt in Relation zur reinen Dicke des Stapels exponentiell zu und übt dadurch einen stärkeren Effekt aus. Faltet man eine 1mm Pfalz noch leicht und locker, so sind 2mm bereits kräftezehrend, da mehr Substanz verändert wird. Die Masse, die durch das Knicken verändert werden muss, und damit auch die entgegenwirkenden Kräfte, die auch nach dem Knicken wirken (schon einmaliges Knicken führt zu reaktanten Wellen), nehmen aufgrund der Überproportionalität der Zunahme der Pfalz (in Gewicht und Größe) in Relation zum Rest des Papieres immer stärkere Ausmaße an.

Anstatt die genauen Kräfte zu ermitteln, wäre es vielleicht einfacher, die jeweils benötigte Kraft für die Faltvorgänge 1-7 zu messen und die höchsten Potenzen herauszurechnen.

Öh... so in etwa...



Dennoch muss das Papier nur groß, schwer und reißfest genug sein, dann dürfte das Gewicht der der neu entstehenden Seitenfläche so hoch sein, dass dem Druck stand gehalten werden kann.

Also hier nochmal das Bild als Link

http://img100.imageshack.us/my.php?image=knicktm4.jpg

ein stück papier von normaler größe läßt sich nicht öfter von hand durch falten um die hälfte verkleinern als 7 mal. dabei wird das papier noch nicht mal zerstört und läßt sich danach auch wieder auseinanderfalten. wie es da mit maschineller hilfe aussieht kann ich nicht sagen baer vielleicht mal probieren.

Ja, die Mythbustersfolge kenne ich. Und so gesehn; Nein, man kann es selber nicht öfter falten. Die Mythbusters sind gen Ende mit einer Planierwalze da rüber gerollt um es platt zu kriegen. Das zählt nun wirklich nicht zu: Ich hab es selber 8 mal gefaltet

Unendlich dünn verwechsel ihr hier scheinbar. Unendlich dünn hat den Grenzwert 0. Sprich, da ist SChluss, also kann man es nicht unendlich mal falten, weil es kein unendlich dünnes Papier gibt. Die Dicke darf nie gleich 0 werden, sonst wäre es nicht da und alles größer 0 lässt sich nunmal nicht unendlich falten.

Habe das auch malin einer Sendung gesehen, welche das war weiß ich nicht, da wurde die Rechnung augestellt, dass wenn man ein Blatt Papier (ich glaube) 47 oder 48 mal falten würde, man einen Trum bis zur Sonne hätte.

der turm würde nicht ganz bis zur sonne reichen, er wäre nur rund 14 mio km hoch bei 48 x falten

Also als wri das mal im Unterricht gemacht haben dann war bei 7 Mal bei jedem Schluss....aber ist halt immer mit der Luft etc.

Ich meine, wir hätten bei einem Versuch mit einem sehr dünnen Papier mal den achten Knick noch ingekriegt, aber ist schon ziemlich lange her, dieser Versuch. Vielleicht waren es doch nur sieben, und der ache ging dann doch nicht mehr...

In 2002, Britney Gallivan got more than seven folds by folding toilet paper over 4000' long. It took seven hours in a shopping mall, but Brtiney was able to achieve 12 folds and also derive an equation relating the width and thickness of a paper to the number of folds achievable.

Zum Vergrößern anklicken....

Aus dem oben angegebenen Myth-Buster-Link. 12 Mal ist wirklich oft.

Wobei Klopapier eigetnlich nicht zähelen dar. Durch die Perforierung handelt es sich ja nichtg um ein Stück Papier, sondern um viele einzelne Blättchen, und damit wird das Problem der Pfalzung erheblich reduziert. Mit einem überdiemensinoerten einzelnen Stück Toilettenpapier würde es nicht gehen, bzw. es würde vorher einreissen, womit die Aufgabe per Defnitionem ebenfalls gescheitert wäre.