Geh aufs Ganze ( die 3 Tore )

@ Cloakmaster & all

Ich habe über das Ziegenproblem vor Jahren mal nachgedacht, weil es auf den ersten Blick tatsächlich verblüffend ist. Für mich stellte sich die Frage wie man für jeden schlüssig und einfach erklären konnte, warum sich die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel des Tores tatsächlich verdoppelt. Ohne mathematischen Beweis.

Natürlich ist der Moderator der springende Punkt und ich kann meine Erklärung auf wenige Sätze reduzieren:

Das die Wahrscheinlichkeit am Anfang 1/3 zu 1/3 zu 1/3 steht ist ja unbestritten. Wählt der Kandidat nun Tor 1, dann folgt danach die Handlung des Moderators entweder Tor 1 oder 2 aufzumachen. Auch das wurde oft angesprochen und mit schwer verständlichen Begriffen wie "nicht unabhänge Ereignisse" belegt. Was für die meisten der Knackpunkt ist ist das folgende:

Der Moderator öffnet ja eines der übrigen beiden Tore. Man Stelle sich nun vor der Moderator wäre eine Maschine. Ein Zufallsgenerator öffnet nur entweder Tor 2 oder Tor 3. Es erscheint der Zonk bzw. die Ziege. Dann ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich 1/2 zu 1/2. Aus diesem Grund tendieren wir immer zu der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit 50/50 ist.
Was wir ausblenden: Der Moderator ist aber kein Zufallsgenerator. Er kennt das Tor unter dem der Hauptgewinn ist und öffnet von den übrig gebliebenen Toren bewusst das solche unter dem der Gewinn nicht ist. Dabei entscheidet er nur zwischen den übrig gebliebenen Toren 2 und 3. Die Wahrscheinlichkeit unter diesem Tor den Zonk zu erwischen fällt somit weg und erhöht - weil der Moderator nur zwischen Tor 2 und 3 bewusst gewählt hat, somit die Wahrscheinlichkeit des Gewinns unter dem anderen Tor. Die Wahrscheinlichkeit ist somit tatsächlich 1/3 zu 2/3.

Fakemac, das erklärt es doch nicht. Gerade WEIL der Moderator kein Zufallsgenerator ist, kommt man hier mit Stochastik nicht weiter, die Wahrscheinlichekeitsrechnung basiert ja gerade auf dem Zufall, welcher hier nicht gegeben ist. Und jetzt wird behauptet, weil der Mod die Lage des Gewinns kennt, ändert sich nur die WS von den beiden alternativen Toren, aber ausgerechnet das ursprünglich gewählte Tor behält seine anfängliche Wahrscheinlichkeit. Das ergibt einfach keinen Sinn.
Deswegen ist auch das "Gesetz der grossen Zahlen", also das 100- oder gar 1000-fache Durchführen des Spieles irreführend: Man kann das Fallen eines idealen Würfels damit berechnen, weil es keinen Einfluss auf den Würfel gibt. Hier aber nimmt der Moderator jedes einzelne Mal willkürlich Einfluss auf das Geschehen, und durchbricht das Prinzip der sich immer wiederholenden Zufallsereignisses.

Doch, man kommt hier mit Wahrscheinlichkeitsrechnung weiter. Aus dem Grunde weil gerade der Einfluss des Moderators auf das Geschehen berechenbar ist. Er ist nicht willkürlich und das ist ja der Punkt:

Vor der Wahl des Kandidaten ist die Wahrscheinlichkeit das der Preis unter To 1, 2 oder 3 ist je 1/3.

Im Endeffekt gibt es nach der Wahl des Kandidaten, z.B. für Tor 1, dann noch zwei Fälle:

Fall1: Der Preis tatsächlich unter diesem Tor. Diese Chance ist 1/3.

Fall 2: Oder aber der Preis ist unter einem anderen Tor. Das ist er zu 2/3, nämlich 1/3 unter Tor 2 und 1/3 unter Tor 3.

Es trifft also zu 1/3 Fall 1 und zu 2/3 Fall 2 ein. Im Fall 1 spielt die Entscheidung des Moderators keine Rolle.

Fall 2 ist hingegen entscheident. Und hier sind die Möglichkeiten berechenbar. Angenommen
der Preis ist unter Tor 2, dann wird der Moderator immer Tor 3 öffnen. Er hat keine Wahl! Das Spiel ist hier berechenbar wie ein Würfel. Andersherum wird er immer Tor 2 öffnen wenn der Preis sich unter Tor 3 befindet. Das übriggebliebene Tor behält somit immer die volle Wahrscheinlichkeit des zweiten Falles, nämlich 2/3.

Das Spiel ist also vollständig berechenbar. Es gibt keine Willkürentscheidungen. Drum kann man es einfach per Rückwärtsrekursion lösen. Man braucht das Gesetz der großen Zahlen nicht. Dies ist allerdings sehr mathematisch und schwer verständlich. Ich denke aber so wie ich es erklärt habe müsste es auch so nachvollziebar sein.

Ich sehe den Moderator als Zufallsgenerator.
Und zwar weil der Kandidat, nachdem er ein Tor gewählt wird, nochmals gefragt wird, ob er sicher ist oder nicht doch lieber das andere nehmen will.
Und das macht er nicht jedes Mal anders, um nicht durchschaubar zu sein !
Der Kandidat wird in dem Fall entweder bei seiner ersten Entscheidung bleiben oder doch umentscheiden.

Ob der Moderator weiß, was hinter dem Tor ist, ist demzufolge sogar egal.

Edit: Na toll, hatte nen Anruf dazwischen

@ HUCKJ

Die Frage um die es hier geht ist nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist das ein beliebiger Kandidat wechseln wird. Das ist tatsächlich nicht zu klären, weil es wohl wirklich von der Art der Kandidaten und der des Moderators abhängt.

Die Frage ist aber, ob nachdem ein Kandidat sich für ein Tor entschieden hat und der Moderator danach ein falsches To geöffnet hat und fragt ob der Kandidat nochmal wechseln will. Ob es dann rein von der Wahrscheinlichkeit her den Preis zu gewinnen besser wäre für den Kandidaten nochmals zu wechseln. Rein von der Wahrscheinlichkeit her und völlig unabhängig von dem bla bla eines Moderators.

Und rein von der Wahrscheinlichkeit her ist es besser zu wechseln. Eben das liegt am Eingriff des Moderators. Er ist eben kein Zufallsgenerator sondern öffnet von den übriggebliebenen beiden Toren immer bewusst das falsche Tor. Imho liegt hier der Denkfehler der uns verblüfft, weil wir den Moderator wie einen Zufallsgenerator sehen. Das ist er aber nicht, denn er hat in diesem Fall (Fall 2, s.o.) keine Wahl.

Ich hatte gehofft, dass es weiterhilft, wenn man sich das an dieser Stelle klar macht. Besser kann auch ich es leider nicht erklären.

Er ist eben kein Zufallsgenerator sondern öffnet von den übriggebliebenen beiden Toren immer bewusst das falsche Tor.

Zum Vergrößern anklicken....

Ich bin davon ausgegangen, dass er den Kandidaten auch hier und da auf das richtige Tor verweist, um ihn zu verunsichern.
Habe die Sendung schon lange nicht mehr gesehen

HUCKJ schrieb:

Ich bin davon ausgegangen, dass er den Kandidaten auch hier und da auf das richtige Tor verweist, um ihn zu verunsichern.

Zum Vergrößern anklicken....

Du bist der Kandidat. Du wählst Tor 1.

Jetzt macht der Moderator von Tor 2 und 3 eines auf. An dieser Stelle öffnet er immer bewusst das Tor hinter dem der Zonk ist. Sagen wir Tor 2.

Es bleiben Dir also noch Tor 1 und 3 übrig. Der Moderator weiß, welches das richtige Tor ist. Wie Du sagst, wird er evtl. versuchen Dich zu verunsichern in dem er auch auf das richtige Tor hindeutet. An dieser Stelle ist das Wissen des Moderators tatsächlich unwichtig. Diese Stelle meinst Du.

Die Ausgangsfrage ist aber die: Wenn er Dir nun die Wahl lässt: Willst Du von Deiner ersten Wahl, Tor 1, nochmal auf Tor 3 wechseln? Solltest Du dann wecheln oder ist es egal, weil die Chance 50/50 ist?

Die richtige Antwort ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach einem Wechsel auf Tor 3 verdoppelt. Und die Antwort warum das so ist, ist imho die aktive Wahl des Moderators als er von Tor 2 und 3 das falsche geöffnet hat.